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已知橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項，其中a、b、c都是正數，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作直線交橢圓于另一點M，求|AM|長度的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

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已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設O為橢圓的中心，過F點作直線交橢圓于M、N兩點，在橢圓上是否存在點T，使得

OM

+

ON

+

OT

=

0

，如果存在，則求點T的坐標；如果不存在，請說明理由．

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一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

(15)（本小題共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.            ………………………1分

∵，，成等差數列，

∴.                              …………………………3分

∴.                                ………………………………………5分

∴.                                        ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴數列為首項是，公差為1的等差數列.      ………………………8分

∴.

∴.                             ……………………………………10分

當時，.    ………………………12分

當時，上式也成立.                             ……………………13分

∴（）.

（16）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為.……………2分

該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為.

…………………………4分

設“該間教室的空氣質量合格”為事件E.則     …………………………………5分

.                 …………………………………6分

答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為.

（Ⅱ）由題意可知，的取值為0，1，2，3，4.           ………………7分

.

隨機變量的分布列為：

0

1

2

3

4

                                           ……………………………12分

解法一：

∴.    ………………13分

解法二：，

∴.                                   ………………13分

（17）（本小題共14分）

（Ⅰ）證明：設的中點為.

在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.        …………………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.      …………………………5分

，

平行四邊形是菱形.

.                   ………………………………………7分

.                    ……………………………………9分

（Ⅲ）過點作交于點，連接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

設，則，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.     ……………………………………13分

.

∴二面角的大小為.       …………………………14分

解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則垂直平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，由題意可知，.

設，由，得……………………………7分

.

  又.

.

.                         ………………………………………9分

（Ⅲ）設平面的法向量為.

則

∴

.

設平面的法向量為.則

∴

.             ……………………………………12分

.          …………………………………13分

二面角的大小為.           ………………………………………14分

（18）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）函數的定義域為．    ………………………………1分

.       …………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時，存在實數，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即時，

x

a+1