Question

已知橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項，其中a、b、c都是正數，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作直線交橢圓于另一點M，求|AM|長度的最大值；
（3）已知定點E（-1，0），直線y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點．證明：對任意的t＞0，都存在實數k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用c²是a²與b²的等差中項，可得，設出直線方程，利用直線與原點的距離為，建立等式，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設M的坐標，表示出|AM|²，即可求|AM|長度的最大值；
（3）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及以CD為直徑的圓過E點，結合向量知識，即可得到結論．
解答：（1）解：在橢圓中，由已知得（1分）
過點A（0，-b）和B（a，0）的直線方程為，即bx-ay-ab=0，
該直線與原點的距離為，由點到直線的距離公式得：（3分）
解得：a²=3，b²=1，所以橢圓方程為（4分）
（2）解：設M（x，y），則x²=3（1-y²），|AM|²=x²+（y+1）²=-2y²+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
當時，|AM|²取得最大值，所以|AM|長度的最大值為（9分）
（3）證明：將y=kx+t代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直線與橢圓有兩個交點，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得（11分）
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則，，
因為以CD為直徑的圓過E點，所以，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=，
所以，解得（14分）
如果對任意的t＞0都成立，則存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．，即．
所以，對任意的t＞0，都存在k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．（16分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．