Question

如圖，設S-ABCD是一個高為3的四棱錐，底面ABCD的邊長為2的正方形，頂點S在底面上的射影是正方形ABCD的中心，K是棱SC的中點，過AK作平面與線段SB，SD分別交于M，N（M，N可以是線段的端點）．
（1）求直線AK平面SBC所成角的正弦值；
（2）當M是SB中點時，求四棱錐 S-AMKN 的體積．

Answer 1

分析：（1）設AK與平面SBC所成角為θ，由SC=

32+( 2 )2

=

11

，知CK=

11

2

，故cos∠SCA=

2

11

=

22

11

，由此能夠求出直線AK平面SBC所成角的正弦值．
（2）當M是SB的中點時，MK∥BC，由BC∥平面SAD，知MK∥平面SAD，MK∥AN，MK∥AD，故N，D兩點重合，由此能求出M是SB中點時，四棱錐 S-AMKN 的體積．

解答：解：（1）設AK與平面SBC所成角為θ，
∵SC=

32+( 2 )2

=

11

，∴CK=

11

2

．
∴cos∠SCA=

2

11

=

22

11

，
∴AK²=AC²+CK²-2AC•CK•cos∠SCA=

27

4

．
∴AK=

3 3

2

．
∵V_S-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×3=2=V_A-BCS，
∴h=

6

S△SBC

=

3 10

5

，
∴sinθ=

h

AK

=

2 30

15

．

（2）當M是SB的中點時，MK∥BC，
∵BC∥平面SAD，∴MK∥平面SAD，
∴MK∥AN，MK∥AD，
∴N，D兩點重合，
∴M到平面SAK的距離為

2

2

，
∴S△SAK=

1

2

S△SAC=

3 2

2

，
∴M是SB中點時，四棱錐 S-AMKN 的體積：
V_S-AMKN=

1

3

×S△SAK•

2

+

1

3

×S△SAC•

2

2

=

2

2

•S△SAK=

2

2

×

3 2

2

=

3

2

．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查四棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．