Question

在環保知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關水體凈化知識的問題，甲答對的概率是，甲、丙兩人都打錯的概率是，乙、丙兩人都答對的概率是．
求：（1）乙、丙兩人各自答對這道題目的概率．
（2）（理做）答對這道題目的人數的隨機變量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出乙和丙答對的概率，根據甲答對的概率是，甲、丙兩人都打錯的概率是，乙、丙兩人都答對的概率是，列出關于兩個概率的關系式，就方程組即可．
（2）（理）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．
（文）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件的概率公式寫出結果．
解答：解：（1）設乙、丙各自答對的概率分別是P₁、P₂，
根據題意得：
，解得：P₁=．P₂=；           
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=××=，
P（ξ=1）==；              （9分）
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==
所以ξ的分布列為                                      （10分）

ξ		1	2	3
P

ξ的數學期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（文科）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，
這四種情況是互斥的，
∴P=+=
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望和相互獨立事件同時發生的概率，本題解題的關鍵是注意數字的運算不要出錯，因為題目中出現的數字較多．