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如圖，在三棱錐中，是正三角形，，D是的中點，二面角為120，，.取AC的中點O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，BD交z軸于點E.

（I）求B、D、P三點的坐標；

（II）求異面直線AB與PC所成的角；

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求證：PD⊥BC；

（II）求二面角B—PD—C的正切值。

【解析】第一問利用∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，

BC在平面ABCD內 ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.

∴PD⊥BC.

第二問中解：取PD的中點E，連接CE、BE，

為正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內的射影，

∴BE⊥PD.∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角，進而求解。

 

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數．
注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵
∴EG⊥側面AC₁；取AC的中點F，連接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵
∴BF⊥側面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．
③∵
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵
∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

（12分）

學校欲在操場邊上一直角三角形空地ABC上種植草坪，并需鋪設一根水管EF（E在AC上，F在AB上）用于灌溉，已知∠A=30°，∠C=90°，BC=2a，D是BC中點，為確保灌溉的效果，鋪設時要求∠EDF=60°。現有兩種方案可供參考。甲方案：取AC的中點E鋪設水管；乙方案：取AB的中點F鋪設水管。

（1）比較甲乙兩種方案，哪一種方案更合理（EF的長較小的合理）；

（2）學校研究小組通過研究得出：無論D在BC的什么位置，總存在E，F兩點，使△DEF為正三角形。試證明該結論的正確性。

 

 

如圖,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB_1，截面A₁EC⊥側面AC₁.

(Ⅰ)求證:BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數.

注意:在下面橫線上填寫適當內容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)證明:在截面A₁EC內,過E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥側面AC₁;取AC的中點F,連結BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥側面AC₁;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側面AC₁于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵                    

即，故