題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、選擇題：D C B B A C A C
二、填空題：9、60 ； 10、8 11、
；12、
13、
；14、1：6 ; 15、
三、解答題：
16、解：解: ( 1) 由圖知A= 4…………1分 由
,得
所以
…3分
由 
,得
……………5分,
所以,
……………6分
(2) ①由
得圖象向左平移
單位得
的圖象……………8分
② 再由圖象的橫坐標縮短為原來
得
的圖象…………10分
③由的圖象縱坐標伸長為原來的4倍得的圖象…………12分
17、解：1）3個旅游團選擇3條不同線路的概率為：P1=
……4分
（2）設選擇甲線路旅游團數為ξ，則ξ=0，1，2，3………………5分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
…9分
ξ
0
1
2
3
∴ξ的分布列為：
………………10分
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
………………12分
18、（本小題14分）
(1) 因為動圓M,過點F
且與直線
相切,所以圓心M到F的距離等于到直線
的距離.所以,點M的軌跡是以F為焦點, 為準線的拋物線,且
,
,
所以所求的軌跡方程為
……………5分
(2) 假設存在A,B在上,
所以,直線AB的方程:
,即
即AB的方程為:
,即
即:
，令
,得
，所以,無論
為何值,直線AB過定點(4,0)
19．解：解:方法一：⑴．證明：連結OC 
………… 1分
，
．
……… 2分
在
中，由已知可得
… 3分
而
， 
………………… 4分
即
………………… 5分
∴
平面
． …………………………… 6分
⑵．解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
，
∴ 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分
在
中，
是直角斜邊AC上的中線，
∴
……………9分 ∴
………… 10分
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
．
………………………… 11分
⑶．解：設點E到平面ACD的距離為
． 
，
…12分
在
中，
,
,而
，
．
∴
， ∴點E到平面ACD的距離為
…14分
方法二：⑴．同方法一．⑵．解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則
， …………… 9分
∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．…… 10分
⑶．解：設平面ACD的法向量為
則
，∴
，令
得
是平面ACD的一個法向量．又
∴點E到平面ACD的距離 
．…14分
20. （Ⅰ）
，
……1分
∴當
時，
，此時
單調遞減
當
時，
，此時單調遞增 ……3分
∴的極小值為
……4分
（Ⅱ）的極小值為1，即在
上的最小值為1， ∴ 
，
……5分
令
，
， ……6分
當
時，
，
在上單調遞增 ……7分
∴
∴在（1）的條件下，
……9分
（Ⅲ）假設存在實數
，使
（
）有最小值3，
…9分
① 當
時，在上單調遞減，
，
（舍去），所以，
此時無最小值. ……10分 ②當
時，在
上單調遞減，在
上單調遞增
，
，滿足條件. ……11分
③ 當
時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.
21. 解: (1) 
,兩邊加
得: 
,
是以2為公比, 
為首項的等比數列. 
……①
由
兩邊減
得: 
是以
為公比, 
為首項的等比數列. 
……②
①-②得: 
所以,所求通項為
…………5分
(2) 當
為偶數時,
當為奇數時,
,
,又
為偶數
由(1)知, 
……………………10分
（3）證明：
又
……12分
………………-14分
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