Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分．
已知負(fù)數(shù)和正數(shù)，且對任意的正整數(shù)n，當(dāng)≥0時(shí), 有[, ]=
[, ]；當(dāng)<0時(shí), 有[, ]= [, ]．
（1）求證數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（2）若，求證；
（3）是否存在，使得數(shù)列為常數(shù)數(shù)列？請說明理由

Answer 1

（1）當(dāng)≥0時(shí)，b_n+1－a_n+1= -a_n= ；
當(dāng)<0, b_n+1－a_n+1= b_n-= ．
所以，總有b_n+1－a_n+1= (b_n-a_n),                      
又，可得，                     
所以數(shù)列｛b_n－a_n｝是等比數(shù)列．                          ………………4分
（2）①由，可得，故有，
∴，，從而，
故當(dāng)n=1時(shí)，成立．                           ………………6分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即，      
由，可得，                   
, 故有，
∴,                       ………………9分
,故有
∴, ，故
∴當(dāng)時(shí)，成立．
　綜合①②可得對一切正整數(shù)n，都有．             ………………12分
（3）假設(shè)存在，使得數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，
由（1）可得b_n－a_n=()^n-1，又，
故b_n=()^n-1，                                 ………………14分
由恒成立，可知≥0,即()ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤對任意的正整數(shù)n恒成立，                　………………16分
又是正數(shù)，故n≤對任意的正整數(shù)n恒成立，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/d/11y7f3.gif" style="vertical-align:middle;" />是常數(shù)，故n≤不可能對任意正整數(shù)n恒成立．
故不存在，使得數(shù)列為常數(shù)數(shù)列．　　　　　　　   ………………18分

解析