已知函數f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b為實常數）．
（I）討論函數的單調區間；
（II） 當a＞0時，函數f（x）有三個不同的零點，證明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在區間[1，2]上是減函數，設關于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的兩個非零實數根為x₁，x₂．試問是否存在實數m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

設M是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：

       ①議程有實根；②函數的導數滿足0<<1.

   （I）若，判斷方程的根的個數；

   （II）判斷（I）中的函數是否為集合M的元素；

   （III）對于M中的任意函數，設x₁是方程的實根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1時，有