Question

設M是由滿足下列兩個條件的函數構成的集合：

       ①議程有實根；②函數的導數滿足0<<1.

   （I）若，判斷方程的根的個數；

   （II）判斷（I）中的函數是否為集合M的元素；

   （III）對于M中的任意函數，設x₁是方程的實根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1時，有

Answer 1

（1）唯一  （2）是

解析:

（I）令

       則

       是單調遞減函數.

       又取

       在其定義域上有唯一實根.

   （II）由（I）知方程有實根（或者由，易知x=0就是方程的一個根），滿足條件①.

      

       滿足條件②.故是集合M中的元素.

   （III）不妨設在其定義域上是增函數.

      

       是其定義域上的減函數.

       .