題目列表(包括答案和解析)
已知函數
（Ⅰ）若
，求證：
；
（Ⅱ）是否存在實數
，使方程
有四個不同的實根？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由。
（08年吉林一中理）（12分） 已知函數
（Ⅰ）若
求證，
（Ⅱ）是否存在實數
，使方程
有四個不同的實根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。
（本題滿分14分）
已知函數
，
，記
（Ⅰ）求
的單調區間；
（Ⅱ）當
時，若
，比較：
與
的大小；
（Ⅲ）若的極值為
，問是否存在實數
，使方程
有四個不同實數根？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由。
（本題滿分14分）
已知函數
，
，記
（Ⅰ）求
的單調區間；
（Ⅱ）當
時，若
，比較：
與
的大小；
（Ⅲ）若的極值為
，問是否存在實數
，使方程
有四個不同實數根？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由。
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一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．A
2．D 對“若
則
”的否定已經不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設命題的結論不成立為非，選D。
3．B 因為
，所以，當
時，分母
最小，從而
最大為2，選B。
4．C
5．B 設等差數列
的前三項為
（其中
），則
于是它的首項是2，選B
6．D 因為
的反函數的圖像經過點
，所以函數的圖像經過點
，于是
，解得
，選D
7．D 在直角坐標系中較準確地作出點A、B、C，并結合代值驗證，可知A、C兩點的坐標不滿足選擇支D的解析式，選D。
8．C 因為分母的極限為零，不能直接使用商的極限運算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因為分子、分母都包含有
的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得
，選C。
9．A 函數的定義域為（0，+
），當
≥1時，
≥0，有
；當
時，
，有
，選A。
10．B 根據圖像可知，當
時，函數圖像從左到右是上升的，表明對數函數是增函數，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得
，有
，選B.
11．A 由
可得
和
。容易驗證
，即
。而滿足條件：“
”的附屬
不一定滿足條件：“”，比如取
，即
。選A.
12．C 設
，則B
,有
，∴
。由于A、B兩點在函數
的圖象上，則
＝1，∴
，而點A又在函數
的圖像上，∴
，得
，有
，于是
，選C。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。
13．
或
等。
14．原式＝
。
15．由圖知車速小于
16．原不等式等價于
，令
，則
，當時，
，當
時，
。故
∴
，∴
。
三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。
17．（本題滿分12分）
解法一 原不等式等價于
或
………………12分
解法二 原不等式等價于
或
或
說明 本題是教材第一冊上
頁習題1.5第5題：解不等式
的改變，這是關于的二次雙連不等式，若轉化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數軸標根，也能快速解決。
18．（本題滿分12分）
（1）當時，等式左邊＝
，右邊＝
，所以對n＝2時，等式成立。………………2分
（2）假設當
時，等式成立，即
，則對n＝k+1時，
，而
）＝
＝
＝
，表明
時，等式成立。
………………10分
由（1），（2）可知對一切
的自然數等式都成立。
…………12分
19．（本題滿分12分）
設表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則
經過了點（20，0），（0，35），
∴
解得
………………4分
即
或
，其中
因此，商店一周中所獲利潤總額為：
每臺利潤×銷售量＝
＝
………8分
由于y是正整數，所以當周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為
元，此時
元或10.3元。
………………12分
20．（本小題滿分12分）
（1）由
得a＝0.18，
得b＝0.36
………………4分
（2）甲種棉花纖維長度的期望為
甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30
乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30
………8分
甲＝
乙＝
由于甲>乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分
說明：本題是選修教材17頁8題的改編。
21．（本題滿分12分）
（1）延長FE與AB交于點P，則
∵EP//BC，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
…………2分
在直角三角形AEP中，
，
，
，
由勾股定理，得
（*）
即
。
………………6分
∵
∴（*）式成立的充要條件是
，
所以y與x的函數關系式為
， ……8分
（2）因為
，等號當且僅當
，即
時取得，
………10分
所以正方形
的面積
當
時取得最大值
………12分
若由
得
,
所以
即
，
等式右端分子有理化，得
∴
∵
∴
，
整理，得
與的函數關系式為
（
）
22．（本題滿分14分）
（1）令
，
則
……3分
因，∴
，故函數
在
上是增函數。
又在
處連續，所以，函數在
上是增函數。
∴時，
即
………………6分
（2）令
……8分
則
令
，則
，-1，1。
…10分
當x變化時，
、
的變化關系如下表：
（―1，0）
0
（0，1）
1
―
0
+
0
―
0
+
極小值
極大值0
極小值
據此可畫出的簡圖如下，…………12分
故存在
，使原方程有4各不同實根。………………14分
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g(x)＝x
有四個不同的實根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．