題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
，求數(shù)列 的前
項(xiàng)和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點(diǎn)
在
軸上，點(diǎn)
在
軸的正半軸，點(diǎn)
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點(diǎn)，又過、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時(shí), 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對(duì)任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
。已知正實(shí)數(shù)
滿足：對(duì)任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．A
2．D 對(duì)“若
則
”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設(shè)命題的結(jié)論不成立為非，選D。
3．B 因?yàn)?sub>
，所以，當(dāng)
時(shí)，分母
最小，從而
最大為2，選B。
4．C
5．B 設(shè)等差數(shù)列
的前三項(xiàng)為
（其中
），則
于是它的首項(xiàng)是2，選B
6．D 因?yàn)?sub>
的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)
，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)
，于是
，解得
，選D
7．D 在直角坐標(biāo)系中較準(zhǔn)確地作出點(diǎn)A、B、C，并結(jié)合代值驗(yàn)證，可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足選擇支D的解析式，選D。
8．C 因?yàn)榉帜傅臉O限為零，不能直接使用商的極限運(yùn)算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因?yàn)榉肿印⒎帜付及?sub>
的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得
，選C。
9．A 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+
），當(dāng)
≥1時(shí)，
≥0，有
；當(dāng)
時(shí)，
，有
，選A。
10．B 根據(jù)圖像可知，當(dāng)
時(shí)，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得
，有
，選B.
11．A 由
可得
和
。容易驗(yàn)證
，即
。而滿足條件：“
”的附屬
不一定滿足條件：“”，比如取
，即
。選A.
12．C 設(shè)
，則B
,有
，∴
。由于A、B兩點(diǎn)在函數(shù)
的圖象上，則
＝1，∴
，而點(diǎn)A又在函數(shù)
的圖像上，∴
，得
，有
，于是
，選C。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。
13．
或
等。
14．原式＝
。
15．由圖知車速小于
16．原不等式等價(jià)于
，令
，則
，當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，
。故
∴
，∴
。
三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟。
17．（本題滿分12分）
解法一 原不等式等價(jià)于
或
………………12分
解法二 原不等式等價(jià)于
或
或
說明 本題是教材第一冊(cè)上
頁習(xí)題1.5第5題：解不等式
的改變，這是關(guān)于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次不等式組成的不等式組來解時(shí)，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標(biāo)根，也能快速解決。
18．（本題滿分12分）
（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊＝
，右邊＝
，所以對(duì)n＝2時(shí)，等式成立。………………2分
（2）假設(shè)當(dāng)
時(shí)，等式成立，即
，則對(duì)n＝k+1時(shí)，
，而
）＝
＝
＝
，表明
時(shí)，等式成立。
………………10分
由（1），（2）可知對(duì)一切
的自然數(shù)等式都成立。
…………12分
19．（本題滿分12分）
設(shè)表示每臺(tái)的利潤，y表示周銷售量，則
經(jīng)過了點(diǎn)（20，0），（0，35），
∴
解得
………………4分
即
或
，其中
因此，商店一周中所獲利潤總額為：
每臺(tái)利潤×銷售量＝
＝
………8分
由于y是正整數(shù)，所以當(dāng)周銷售量為y＝17或18時(shí)，利潤總額最大，為
元，此時(shí)
元或10.3元。
………………12分
20．（本小題滿分12分）
（1）由
得a＝0.18，
得b＝0.36
………………4分
（2）甲種棉花纖維長度的期望為
甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30
乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30
………8分
甲＝
乙＝
由于甲>乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質(zhì)量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分
說明：本題是選修教材17頁8題的改編。
21．（本題滿分12分）
（1）延長FE與AB交于點(diǎn)P，則
∵EP//BC，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
…………2分
在直角三角形AEP中，
，
，
，
由勾股定理，得
（*）
即
。
………………6分
∵
∴（*）式成立的充要條件是
，
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為
， ……8分
（2）因?yàn)?sub>
，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)取得，
………10分
所以正方形
的面積
當(dāng)
時(shí)取得最大值
………12分
若由
得
,
所以
即
，
等式右端分子有理化，得
∴
∵
∴
，
整理，得
與的函數(shù)關(guān)系式為
（
）
22．（本題滿分14分）
（1）令
，
則
……3分
因，∴
，故函數(shù)
在
上是增函數(shù)。
又在
處連續(xù)，所以，函數(shù)在
上是增函數(shù)。
∴時(shí)，
即
………………6分
（2）令
……8分
則
令
，則
，-1，1。
…10分
當(dāng)x變化時(shí)，
、
的變化關(guān)系如下表：
（―1，0）
0
（0，1）
1
―
0
+
0
―
0
+
極小值
極大值0
極小值
據(jù)此可畫出的簡圖如下，…………12分
故存在
，使原方程有4各不同實(shí)根。………………14分
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