(證法一) 取PE的中點M，連結FM，則FM//CE.  ①

由   知E是MD的中點.

連結BM、BD，設BDAC=O，則O為BD的中點.

所以  BM//OE.  ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

(證法二)因為 

所以  、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分

21．解：（I）

由，又 ，

 ，

                                 …… 4分

（II）

，其過點 

                                     …… 7分

（Ⅲ）由（2）知、，

、、  

得 

①當。

②當時，

又、 

即

所以直線AB的方程為                       …… 12分

22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數形結合易知y=lnx與y=的交點為A（α，），y=e^x與y=的交點為B（β，）；由K_AB= ―1，易知αβ=2009           …………4分

（Ⅱ）設=，則

∵ ， ∴ 在區間（1，）上是減函數    又∵

∴ ，即，

∴在區間（1，）上，函數圖象在函數圖象的下方         …9分

（Ⅲ）當時，左邊=，右邊=，不等式成立；

當時，

             =

由已知，  ∴ ≥

∴ ≥．                  ………………………………14分

（文科）解：（Ⅰ）當cosθ＝0時，函數f(x)＝4x³＋在R上遞增，故無極值. …3分

（Ⅱ）函數f^、(x)＝12x²－6xcosθ，令f^、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

由于0≤θ≤及（1）結論，f_極小(x)＝f(cosθ)＝－cos³θ＋＞0，

∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)。…7分

（Ⅲ）f(x)在區間(2a－1，a)是增函數，則或，

由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

∴實數a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分