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已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對數的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g(x)=

ln|x|

|x|

，x∈[-e，0)，求證：當a=-1時，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．請解答以下問題
（1）判斷函數f(x)=x+

2

x

(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（3）若函數h(x)=

x-1

+t∈M，求實數t的取值范圍．

已知數列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若函數f(n)=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

(n∈N，且n≥2)，求函數f（n）的最小值；
（3）設bn=

1

an

，Sn表示數列{b_n}的前項和．試問：是否存在關于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

已知二次函數f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數，函數f（x）的圖象與直線y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調減函數，那么：
①求k的取值范圍；
②是否存在區間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區間[m，n]；若不存在，請說明理由．

已知函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1處取得極值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）設A是曲線y=f（x）上除原點O外的任意一點，過OA的中點且垂直于x軸的直線交曲線于點B，試問：是否存在這樣的點A，使得曲線在點B處的切線與OA平行？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由；
（3）設函數g（x）=x²-2ax+a，若對于任意x₁∈R的，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實數a的取值范圍．