Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若函數f(n)=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

(n∈N，且n≥2)，求函數f（n）的最小值；
（3）設bn=

1

an

，Sn表示數列{b_n}的前項和．試問：是否存在關于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點P代入直線方程，可得a_n+1-a_n=1進而判斷數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列數列{a_n}的通項公式可得．
（2）分別表示出f（n）和f（n+1），通過f（n+1）-f（n）＞0判斷f（n）單調遞增，故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

（3）把（1）中的a_n代入求得b_n，進而求得Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)最后（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=nS_n-n=n（S_n-1），判斷存在關于n的整式g（x）=n．

解答：解：（1）由點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，
即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，數列{a_n}是以1為首項，
1為公差的等差數列a_n=1+（n-1）•1=n（n≥2），
a₁=1同樣滿足，所以a_n=n
（2）f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

1

2n+2

-

1

n+1

=0
所以f（n）是單調遞增，故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

（3）bn=

1

n

，可得Sn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

，
Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1
…
S₂-S₁=S₁+1
∴nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2
∴g（n）=n
故存在關于n的整式g（x）=n，
使得對于一切不小于2的自然數n恒成立．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式．即數列與不等式相結合的問題考查，考查了學生綜合思維能力．