題目列表(包括答案和解析)
的值；②求
的逆矩陣
求實數
的取值范圍，使關于
的方程
⑴有兩個實根，且一個比2大，一個比2小；
⑵有兩個實數根，且都比1大；
⑶有兩實數根
，
，且滿足
；
⑷至少有一個正根．
求實數
的取值組成的集合
，使當
時，“
”為真，“
”為假．
其中
方程
有兩個不相等的負根；
方程
無實數根．
求實數
的取值組成的集合
，使當
時，“
”為真，“
”為假．
其中
方程
有兩個不相等的負根；
方程
無實數根．
的取值組成的集合
，使當
時，“
”為真，“
”為假．
方程
有兩個不相等的負根；
方程
無實數根．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
理C
文B
C
理D
文B
C
A
B
D
C
理A
文C
B
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．
14．11 15．（理）
（文
）16．②④
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步
驟。
17．本小題滿分10分
解：（1）由余弦定理及已知條件得，
1分
∵
3分
∴
5分
（2）由正弦定理及已知條件得，b=
聯立方程組
9分
∴△ABC的周長為
10分
18．本小題滿分12分
解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。
則
（理）4分（文）6分
（2）（理科）
的所有可能取值為-4、0、4、12 5分
9分
的分布列為
-4
0
4
12
3/8
1/3
1/4
1/24
E=
12分
（文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12. 7分
得0分的概率為
8分
得4分的概率為
9分
得12分的概率為
10分
∴該參賽者得分為非負數的概率為
12分
19．本小題滿分12分
解：（1）取AB的中點G，連接CG，FG，
則FG∥BE，且FG=
BE，
∴FG∥CD，且FG=CD，2分
∴四邊形FGCD是平行四邊形，
∴DF∥CG，
又∵CF
平面ABC，
∴DF∥平面ABC, 6分
（2）解法一：設A到平面BDF的距離為h，
由
8分
在△BDF中，
且CB=2,∴
10分
設AB于平面BDF所成的角為
，則
故AB與平面BDF所成的角為
12分
解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角
坐標系，則
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），
F（1，0，1）。…………………………………………………………………………… 8分
∴ 
=（0，2，1），
=（1，-2，0）…………………………………………… 8分
設平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），
∵ n⊥，n⊥，∴ 
即
解得
∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
又設AB與平面BDF所成的角為，則法線n與
所成的角為
，
∴cos()=
=
=
,
即sin
,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分
20．本小題滿分12分
解：（1）∵
-
=0,因為（
）（
）=0，
∵數列
的各項均為正數，∴>0，∴=0，
即
所以數列是以2為公比的等比數列…………………………………3分
∴
是
的等差中項，∴
，∴
∴數列的通項公式
……………………………………………… 6分
（2）由（1）及
log
得，
，………………………………… 8分
∵
…
∴
-…-
①
∴
-…-
②
②-①得，
+…+
=
……………………… （理）10分（文）12分
要使
>50成立，只需 
>50成立，即>52，n
∴使>50成立的正整數n的最小值為5。………………………（理）12分
21．本小題滿分12分
解：（1）由
得（
）
………………1分
當
時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，
∴
≠2，e≠
…………………………………………………………………………2分
當≠2時，
=
恒成立，
即
恒成立，
∵>0，∴
，∴
，……………………………………3分
∵
∵（
）
=2，∴
∴
綜上知
………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）設F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得
整理得
…………………………………………7分
設兩交點為P（
），Q
，則
∵
=
∴
……………………………………………………………8分
∴
消去
得
………………………………………………………………10分
∴>0且
∴
∴
∴所求雙曲線C的方程為
………………………………………………12分
22．本小題滿分12分
（理科）解：（1）
……………………………………………2分
∵x=0時，
取極值0，∴
………………………………………………3分
解得a=1,b=0.經檢驗a=1,b=0符合題意。………………………………………………4分
（2）由a=1,b=0知
由
得
令
則
在
上恰有兩個不同的實數
根等價于
在上恰有兩個不同實數根。
當
時，
<0，于是在（0，1）上單調遞減；
當
時，>0，于是在（1，2）上單調遞增。……………………7分
依題意有
<0，∴
…………………8分
（3）
的定義域為
>
，
由（1）知
當
單調遞減。
當x＞0時，＞0，單調遞增。
∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）
又f（0）=0，故
（當且僅當x=0，等號成立） 10分
對任意正整數n，取
故
=
12分
（文科）解：（1）∵
1分
依題意有
3分
解得
4分
∴
5分
（2）∵
，依題意x1、x2是方程=0的兩個根，
由
∴
7分
設
由
9分
即函數
在區間（0，4）上是增函數，在區間（4，6）上是減函數
當
時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96 10分
∴b的最大值為4
12分
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