題目列表(包括答案和解析)
設
，
，其中
是常數，且
．
（1）求函數
的極值；
（2）證明：對任意正數
，存在正數
，使不等式
成立；
（3）設
，且
，證明：對任意正數
都有：
．
已知數列
滿足：
(1)求數列
的通項公式； 
(2)證明：
；
(3)設
，且
，證明：
.
已知數列
滿足：
①求數列
的通項公式；
②證明；
③設
，且
，證明
設
，且
，證明不等式：
（本小題滿分13分）
已知函數
，其中
．
（I）在給定的坐標系中，畫出函數
的圖象；
（II）設
，且
，證明：
．
一、選擇題
1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．D 10．A
二、填空題
11．
12．
13．－6 14．
；
15．①②③④
三、解答題
16．解：⑴
＝
＝
＝
＝
3分
＝
＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x
∵x∈[0，
] ∴cosx≥0
∴
＝2cosx 6分
⑵ f (x)＝cos2x－
?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x
＝2cos(2x＋
) 8分
∵0≤x≤ ∴
∴
∴
∴
，當x＝時取得該最小值
，當x＝0時取得該最大值 12分
17．由題意知，在甲盒中放一球概率為
時，在乙盒放一球的概率為
2分
①當n＝3時，x＝3，y＝0的概率為
4分
②當n＝4時，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4
(i)當ξ＝0時，有x＝2，y＝2，它的概率為
4分
(ii)當ξ＝2時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
它的概率為
(iii)當ξ＝4時，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4
它的概率為
故ξ的分布列為
ξ
0
2
4
10分
p
∴ξ的數學期望Eξ＝
12分
18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC
又∵PB⊥BC ∴BC⊥面PAB ∴BC⊥PA
同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD 4分
⑵在AD上取一點O使AO=AD，連接E，O，
則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 過點O做
OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角 6分
在△PAD中，EO＝AP＝
在△AHO中∠HAO＝45°，
∴HO＝AOsin45°=
，∴tan∠EHO＝
，
∴二面角E－AC－D等于arctan
8分
⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴
，又由已知有
，∴PF∥ES
∵PF
面EAC，EC
面EAC ∴PF∥面EAC，
即當F為BC中點時，PF∥面EAC 12分
19．⑴據題意，得
4分
5分
⑵由⑴得：當5＜x＜7時，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)
當5＜x＜6時，y'＞0，y＝f (x)為增函數
當6＜x＜7時，y'＜0，y＝f (x)為減函數
∴當x＝6時，f (x)極大值＝f (16)＝195 8分
當7≤x＜8時，y＝6(33－x)∈(150，156]
當x≥8時，y＝－10(x－9)2＋160
當x＝9時，y極大＝160 10分
綜上知：當x＝6時，總利潤最大，最大值為195 12分
20．⑴設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)
②
4分
)
8分
的距離
總相切． 13分
，0) 2分
，得
，有
3分
4分
5分
，那么
7分
成立 9分
(可參照給分)
，
，∴
∵
∴
，綜上
即證
11分
當x＞0時，f ' (x)＜0