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拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足

BM

=λ

MA

，證明線段PM的中點在y軸上；
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

拋物線y²=4px（p＞0）的準線與x軸交于M點，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．
（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x₀，0），求證：x₀＞3p；
（2）若直線l的斜率依次為p，p²，p³，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點依次為N₁，N₂，N₃，…，當0＜p＜1時，求

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|N10N11|

的值．

拋物線y²=4x的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在拋物線上，且存在實數λ，使

AF

+λ

BF

=0，|

AB

|=

25

4

．
（1）求直線AB的方程；
（2）求△AOB的外接圓的方程．

拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）寫出該拋物線的方程及其準線方程；
（2）若直線AB與x 軸交于點M（x₀，0），且y₁•y₂=-4，求證：點M的坐標為（1，0）．

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點、離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當m=1時求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經過橢圓C₂的右焦點F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實數m，使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．