Question

拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）若直線AB與x 軸交于點(diǎn)M（x₀，0），且y₁•y₂=-4，求證：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）．

Answer 1

分析：（1）由已知可設(shè)拋物線方程為y²=2px．因點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，故p=2．由此知所求拋物線的方程是y²=4x，準(zhǔn)線方程是x=-1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，y₁=-y₂=2代入y²=4x，x₁=x₂=1，M（1，0）；當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-x₀）（k≠0），聯(lián)立

y=k(x-x0) y2=4x

?

ky2

4

-y-kx0=0，得M（1，0）．

解答：解：（1）由已知可設(shè)拋物線方程為y²=2px．
∵點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，∴p=2．
故所求拋物線的方程是y²=4x，（4分）
準(zhǔn)線方程是x=-1．（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，y₁=-y₂=2代入y²=4x∴x₁=x₂=1，∴M（1，0）（8分）
②當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-x₀）（k≠0），
聯(lián)立

y=k(x-x0) y2=4x

?

ky2

4

-y-kx0=0
∴y₁•y₂=-4x₀=-4，∴x₀=1，即M（1，0）（12分）
綜上：AB直線與x軸交點(diǎn)M（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程，解題時(shí)要注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用，仔細(xì)審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．