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已知函數
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設a＞0，求函數f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學發現：總存在正實數a、b（a＜b），使a^b=b^a，試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

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（12分）已知集合，其中a≠1

   （1）當a=2時，求A∩B；

   （2）求使BA的實數a的取值范圍。

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

   1～5  C B D C D     6～10  A C A B B

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11. ；      12 . ；       13.  31；  

14. ；       15. ；             16.-，0 .

三、解答題（本大題共6小題，共76分）

17.（本題滿分13分）

解：（Ⅰ）當a＝2時，A＝，          …………………………2分

B＝                            …………………………4分

∴ AB＝                      …………………………6分

（Ⅱ）∵(a²＋1)－a＝(a－)²＋>0，即a²＋1>a

∴B={x|a<x<a²+1}                            ……………………7分

①當3a+1=2，即a=時A=Φ，不存在a使BA      ……………………8分

②當3a+1>2，即a>時A={x|2<x<3a+1}

由BA得：2≤a≤3             …………………10分

③當3a+1<2，即a<時A={x|3a+1<x<2}

由BA得－1≤a≤－                  …………………12分

綜上，a的范圍為：[－1,－]∪[2,3]                        …………………13分

18．（本題滿分13分）

解：（Ⅰ）由………4分

∵

∴的值域為[－1，2]           ……………………7分

（Ⅱ）∵

∴

∴                   ………………10分

∴………………13分

19. （本題滿分13分）

解：（Ⅰ） ，，              ……………………2分

設與在公共點處的切線相同

由題意，　

即                              ……………………4分

由得：，或（舍去）　

即有　                ……………………6分

（Ⅱ）設，……………………7分

則　           ……………………9分

x時<0，x>0

∴在為減函數，在為增函數，             ……………………11分

于是函數在上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0　    ……………………12分

故當時，有，

所以，當時，　                           ……………………13分

20. （本題滿分13分）

解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率

                         ………………5分

（Ⅱ）                         …………………6分           

                                      …………10分

ξ的分布列為：

ξ

10

8

6

4

P

                         …………13分

21．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵， ∴     …………………………1分

由y=解得：              …………………………2分

∴                    ………………………3分

（Ⅱ）由題意得：         …………………………4分

∴                   

∴{}是以=1為首項，以4為公差的等差數列. …………………………6分

∴，∴.          ………………………7分

（Ⅲ）∴………8分

則

∴

∴，∴ {b_n}是一單調遞減數列.      ………………………10分

∴，要使，則 ，∴

又kÎN^*  ，∴k³8 ，∴k_min=8

即存在最小的正整數k=8，使得                 ……………………12分

22.（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）由余弦定理得：   ……1分

即16＝

＝＝

所以，

即  ……………………………………………4分

（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）

所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為的雙曲線

所以，軌跡G的方程為        …………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使為常數.

①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為

   …………………………………………7分

由題意知，

設，則，  …………………8分

于是

∴

＝             ………………9分

＝

要是使得 為常數，當且僅當，此時 ………………11分

②當直線l與x軸垂直時，,當時.

 故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數. …………………………12分