Question

已知函數．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求實數m的取值范圍；
（3）某同學發現：總存在正實數a、b（a＜b），使a^b=b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

解：（1）定義域為（0，+∞），，令，則x=e，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）的單調遞增區間為（0，e）；f（x）的單調遞減區間為（e，+∞）．

（2）∵不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴分離m得，對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減．
當2a≤e時，即時，f（x）在[a，2a]上單調遞增，∴；
當a≥e時，f（x）在[a，2a]上單調遞減，∴；
當a＜e＜2a時，即時，f（x）在[a，e]上單調遞增，f（x）在[e，2a]上單調遞減，
∴．
綜上得：
當時，；
當a≥e時，；
當時，．
（3）正確，a的取值范圍是1＜a＜e．（16分）
注：理由如下，考慮函數f（x）的大致圖象．
當x→+∞時，f（x）→0．
又∵f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，∴f（x）的圖象如圖所示．

∴總存在正實數a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
即，即a^b=b^a，此時1＜a＜e．
分析：（1）先確定定義域為（0，+∞），求導，則由“f′（x）≥0，為增區間，f′（x）≤0，為減區間”求解．
（2）將“不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”轉化為：“對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．
（3）根據導數，作出函數f（x）的大致圖象．易知當x→+∞時，f（x）→0．又∵f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，由，即得a^b=b^a．
點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍時，往往轉化為求相應函數的最值問題．