題目列表(包括答案和解析)
2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于
2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是我國以古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為| 1 |
| 25 |
2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是我國以古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如右圖)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos 2θ的值等于________
2002年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽
的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形
拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的
面積為25，直角三角形中較小的銳角為
，那么
的值等于 ．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1～
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 
； 12 . 
； 13. 31；
14. 
； 15. 
；
16.
-
，0
.
三、解答題（本大題共6小題，共76分）
17.（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）當a＝2時，A＝
，
…………………………2分
B＝
…………………………4分
∴ A
B＝
…………………………6分
（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－
)2＋
>0，即a2＋1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①當時A=Φ，不存在a使B
A ……………………8分
②當時A={x|2<x<
由BA得：
2≤a≤3
…………………10分
③當時A={x|
由BA得
－1≤a≤－
…………………12分
綜上，a的范圍為：[－1,－]∪[2,3] …………………13分
18．（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由
………4分
∵
∴
的值域為[－1，2]
……………………7分
（Ⅱ）∵
∴
∴
………………10分
∴
………………13分
19. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）
，
，
……………………2分
設
與
在公共點
處的切線相同
由題意
，
即 
……………………4分
由
得：
，或
（舍去）
即有
……………………6分
（Ⅱ）設
，……………………7分
則
……………………9分
x
時<0，x
>0
∴
在
為減函數，在
為增函數，
……………………11分
于是函數在
上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0 ……………………12分
故當
時，有
，
所以，當時，
……………………13分
20. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率
………………5分
（Ⅱ）
…………………6分
…………10分
ξ的分布列為：
ξ
10
8
6
4
P
…………13分
21．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵
， ∴ 
…………………………1分
由y=
解得：
…………………………2分
∴
………………………3分
（Ⅱ）由題意得：
…………………………4分
∴
∴{
}是以
=1為首項，以4為公差的等差數列. …………………………6分
∴
，∴
.
………………………7分
（Ⅲ）∴
………8分
則
∴
∴
，∴ {bn}是一單調遞減數列. ………………………10分
∴
，要使
，則
，∴
又kÎN* ，∴k³8 ，∴kmin=8
即存在最小的正整數k=8，使得
……………………12分
22.（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得：
……1分
即16＝
＝
＝
所以
，
即
……………………………………………4分
（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）
所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為
的雙曲線
所以，軌跡G的方程為
…………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使
為常數.
①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為
…………………………………………7分
由題意知，
設
，則
，
…………………8分
于是
∴
＝
………………9分
＝
要是使得 為常數，當且僅當
，此時
………………11分
②當直線l與x軸垂直時，
,當時.
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數. …………………………12分
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