Question

2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩正方形的面積分別求出兩正方形的邊長，根據(jù)小正方形的邊長等于直角三角形的長直角邊減去短直角邊，利用三角函數(shù)的定義表示出5cosθ-5sinθ=1，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得sin2θ的值，然后根據(jù)θ的范圍求出2θ的范圍即可判斷出cos2θ的正負(fù)，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系由sin2θ即可求出cos2θ的值．

解答：解：∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，
∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1．
∴5cosθ-5sinθ=1，
∴cosθ-sinθ=

1

5

．
∴兩邊平方得：1-sin2θ=

1

25

，
∴sin2θ=

24

25

．
∵θ是直角三角形中較小的銳角，
∴0＜θ＜

π

4

，0＜2θ＜

π

2

．
∴cos2θ=

1-sin22θ

=

7

25

．
故答案為：

7

25

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．本題的突破點(diǎn)是將已知的兩等式兩邊平方．