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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+y²=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數(shù)）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內(nèi)部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關(guān)于x軸的對稱點為N，設(shè)直線QN交x軸于點L，試判斷是否為定值？并證明你的結(jié)論．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x²+y²=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數(shù)）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內(nèi)部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關(guān)于x軸的對稱點為N，設(shè)直線QN交x軸于點L，試判斷是否為定值？并證明你的結(jié)論．

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一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1～5  D A B D C    6～10  C A B D B     11～12  C A

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13.；     14.21 ；       15. ；      16..

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17.（本題滿分13分）

解：(1)甲、乙兩衛(wèi)星各自預(yù)報一次，記“甲預(yù)報準(zhǔn)確”為事件A，“乙預(yù)報準(zhǔn)確”為事件B.則兩衛(wèi)星只有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為：

 … 4分

             = 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35   …………6分

答：甲、乙兩衛(wèi)星中只有一顆衛(wèi)星預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.35  ………7分

(2) 甲獨立預(yù)報3次，至少有2次預(yù)報準(zhǔn)確的概率為

         …………10分

    ＝＝0.896             ………………………12分

答：甲獨立預(yù)報3次，至少有2次預(yù)報準(zhǔn)確的概率為0.896. ……… 13分

18.（本題滿分13分）

解：(1)∵         …………………2分

         ＝ ＝  ……………6分

      ∴函數(shù)的最小正周期        …………………7分

       又由可得：

的單調(diào)遞增區(qū)間形如：  ……9分

(2) ∵時， ，

 ∴的取值范圍是              ………………11分

∴函數(shù)的最大值是3，最小值是0 

從而函數(shù)的是               …………13分

19.（本題滿分12分）

解：(1) ∵   ∴由已知條件可得：，并且，

解之得：，                         ……………3分

   從而其首項和公比滿足：  ………5分

   故數(shù)列的通項公式為： ……6分

(2) ∵  

     數(shù)列是等差數(shù)列，         …………………………8分

∴

       ＝

       ＝=   …………………10分

    由于，當(dāng)且僅當(dāng)最大時，最大.

        所以當(dāng)最大時，或6        …………………………12分

20.（本題滿分12分）

解：(1) ∵為奇函數(shù)    ∴  ………2分

   ∵，導(dǎo)函數(shù)的最小值為-12 ∴……3分

 又∵直線的斜率為，

并且的圖象在點P處的切線與它垂直

∴，即    ∴       ……………6分

(2) 由第(1)小題結(jié)果可得：

                ……………9分

   令，得           ……………10分

   ∵，，

   ∴在[-1, 3]的最大值為11，最小值為-16.  ………12分

21.（本題滿分12分）

解：(1) ∵函數(shù)有意義的充要條件為

         ，即是  

 ∴函數(shù)的定義域為         …………3分

∵函數(shù)有意義的充要條件為：

∴函數(shù)的定義域為     …………5分

(2)∵由題目條件知

∴，                      …………………7分

∴c的取值范圍是：[－5, 5]           …………………8分

(3) 即是

    ∵是奇函數(shù)，∴   ………………9分

又∵函數(shù)的定義域為，并且是增函數(shù)

∴     ………………11分

解之得的取值范圍是：=  …………12分

22.（本題滿分12分）

解：(1) 設(shè)雙曲線的漸近線方程為，即，

∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑

 ∴    

 ∴雙曲線的漸近線的方程為：         ……………2分

又設(shè)雙曲線的方程為：，則

 ∵雙曲線的漸近線的方程為，且有一個焦點為

∴，          ………………4分

解之得：，故雙曲線的方程是：  ……………5分

(2) 聯(lián)立方程組，消去得：（*）…………6分

  ∵直線與雙曲線C的左支交于兩點，方程（*）兩根、為負(fù)數(shù)，

∴    …………8分

又∵線段PQ的中點坐標(biāo)滿足

   ，   ……9分

∴直線的方程為：，

即是，

直線在軸的截距     ……………………11分

又∵時，的取值范圍是：

∴直線的截距的取值范圍是……12分