Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷

OM

•

OL

是否為定值？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）圓心C（m，0），（-1＜m＜1），⊙C的半徑為：r=

1-m2

，從而⊙C的方程為（x-m）²+y²=1-m²，由此能求出橢圓D的標準方程．
（2）當b=1時，橢圓D的方程為

x2

2

+y2=1，設橢圓D上任意一點S（x₁，y₁），則

x12

2

+y12=1，y12=1-

x12

2

，由SC2=(x1-m) 2+y12=

1

2

(x1-2m)2+1-m2≥1-m²=r²，所以SC≥r．由此得到橢圓D上的任意一點都不存在⊙C的內部．
（3）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意，得N（x₁，-y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，從而直線PQ的方程為（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，令y=0，得xM=

x1y2-x2y1

y2-y1

，直線QN的方程為（y₂+y₁）x-（x₂-x₁）y-x₁y₂-x₂y₁=0，令y=0，得xL=

x2y1+x1y2

y2+y1

．由點P，Q在橢圓D上，能夠證明

OM

•

OL

=x_M•x_L=b²+1為定值．

解答：解：（1）圓心C（m，0），（-1＜m＜1），
則⊙C的半徑為：r=

1-m2

，
從而⊙C的方程為（x-m）²+y²=1-m²，
橢圓D的標準方程為：

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
（2）當b=1時，橢圓D的方程為

x2

2

+y2=1，
設橢圓D上任意一點S（x₁，y₁），
則

x12

2

+y12=1，y12=1-

x12

2

，
∵SC2=(x1-m) 2+y12
=(x1-m) 2+1-

x12

2

=

1

2

(x1-2m)2+1-m2
≥1-m²=r²，
所以SC≥r．
從而橢圓D上的任意一點都不存在⊙C的內部．
（3）

OM

•

OL

=b²+1為定值．
證明：設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由題意，得N（x₁，-y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，
從而直線PQ的方程為（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
令y=0，得xM=

x1y2-x2y1

y2-y1

，
∵直線QN的方程為（y₂+y₁）x-（x₂-x₁）y-x₁y₂-x₂y₁=0，
令y=0，得xL=

x2y1+x1y2

y2+y1

．
∵點P，Q在橢圓D上，
∴

x12

b2+1

+

y12

b2

=1，

x22

b2+1

+

y22

b2

=1，
∴x12=b2+1-

b2+1

b2

y12，x22=b2+1-

b2+1

b2

y22，
∴x_M•x_L=

(b2+1- b2+1 b2 y12)y22-(b2+1- b2+1 b2 y22  )y12

y22-y12

=

(b2+1)(y22-y12)

y22-y12

=b²+1．
∴

OM

•

OL

=x_M•x_L=b²+1為定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力和推理論證能力，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．