如圖，半徑是1且圓心角為120°的扇形中，點A、B是扇形的兩個端點，線段PQ是一條平行于弦AB的動弦，以PQ為一邊作該扇形的一個內接矩形MNQP，將矩形MNQP面積記為S．試確定當P點在什么位置時，S取得最大，最大值是多少？

如圖，在半徑為R、圓心角為

π

3

的扇形金屬材料中剪出一個長方形EPQF，并且EP與∠AOB的平分線OC平行，設∠POC=θ．
（1）試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S（θ）的函數．
（2）現用EP和FQ作為母線并焊接起來，將長方形EFPQ制成圓柱的側面，能否從△OEF中直接剪出一個圓面作為圓柱形容器的底面？如果不能請說明理由．如果可能，求出側面積最大時容器的體積．