Question

如圖，在半徑為R、圓心角為

π

3

的扇形金屬材料中剪出一個長方形EPQF，并且EP與∠AOB的平分線OC平行，設∠POC=θ．
（1）試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S（θ）的函數；
（2）在余下的邊角料中在剪出兩個圓（如圖所示），試問當矩形EPQF的面積最大時，能否由這個矩形和兩個圓組成一個有上下底面的圓柱？如果可能，求出此時圓柱的體積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ，可求PC，OC，從而可得EF，EP，即可求長方形EPQF的面積，；
（2）制成圓柱的底面周長為EF，半徑可求，△OEF的內切圓半徑可求，兩半徑比較得出結論．

解答：解：（1）由條件得CP=Rsinθ，EP=Rcosθ-

CP

tan π 6

=Rcosθ-

3

Rsinθ，
從而S(θ)=2Rsinθ(Rcosθ-

3

Rsinθ)．…（4分）
（2）由（1）得S(θ)=R2[sin2θ-

3

(1-cos2θ)]=2R2sin(2θ+

π

3

)-

3

R2，
所以當2θ+

π

3

=

π

2

時，即θ=

π

12

，S(θ)取得最大值，為(2-

3

)R2．…（7分）
此時EF=2Rsin

π

12

=

6 - 2

2

R，EP=Rcos

π

12

-

3

Rsin

π

12

=

6 - 2

2

R，
所以EPQF為正方形，依題意知制成的圓柱底面應是由EF圍成的圓，
從而由周長2πr=EF=

6 - 2

2

R，得其半徑為

6 - 2

4π

R≈0.084R．…（11分）
另一方面，如圖所示，設圓與OA邊切于點H，連接GE、GH、GA，EA=OA-OE=

2+ 2 - 6

2

R．
設兩小圓的半徑為GH=r，則EH=

r

tan π 12

=(2+

3

)r，
且AH＞r，從而(2+

3

)r+r＜

2+ 2 - 6

2

R，所以r＜

2+ 2 - 6

2(3+ 3 )

R≈0.10R，
因0.084R＜0.10R，
所以能作出滿足條件的兩個圓．此時圓柱的體積V=

(3 6 -5 2 )R3

8π

．…（16分）

點評：本題用柱體的側面積和體積作為載體，重點考查了三角函數的運算與性質，求側面積 S（θ）的最大值和柱體的體積時，考查了兩角和與差的運算，且運算量較大，屬于中檔題．