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已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切.  
（1）求橢圓C₁的方程；  
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；  
（3）當P不在x軸上時，在曲線C₂上是否存在兩個不同點C、D關于PF₂對稱，若存在，求出PF₂的斜率范圍，若不存在，說明理由。

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁為到定點F(

3

2

，

1

2

)的距離與到定直線l1：

3

x+y+2=0的距離相等的動點P的軌跡，曲線C₂是由曲線C₁繞坐標原點O按順時針方向旋轉30°形成的．
（1）求曲線C₁與坐標軸的交點坐標，以及曲線C₂的方程；
（2）過定點M₀（m，0）（m＞2）的直線l₂交曲線C₂于A、B兩點，已知曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱．問：弦長|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．

（2013•閘北區二模）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁為到定點F(

3

2

，

1

2

)的距離與到定直線l1：

3

x+y+2=0的距離相等的動點P的軌跡，曲線C₂是由曲線C₁繞坐標原點O按順時針方向旋轉30°形成的．
（1）求曲線C₁與坐標軸的交點坐標，以及曲線C₂的方程；
（2）過定點M₀（m，0）（m＞2）的直線l₂交曲線C₂于A、B兩點，已知曲線C₂上存在不同的兩點C、D關于直線l₂對稱．問：弦長|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．