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設函數f(x)=

x3

3

+

a

2

x2+bx+c(a，b，c∈R），函數f（x）的導數記為f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的條件下，記F(n)=

1

f′(n)+2

，求證：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜

11

18

(n∈N^*）；
（3）設關于x的方程f'（x）=0的兩個實數根為α、β，且1＜α＜β＜2．試問：是否存在正整數n₀，使得|f′(n0)|≤

1

4

？說明理由．