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已知函數．

(Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ）若在區間存在最大值，試構造一個函數，使得同時滿足以下三個條件：①定義域，且；②當時，；③在中使取得最大值時的值，從小到大組成等差數列．（只要寫出函數即可）

 

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）在各項均不為零的數列{c_n}中，若c_i•c_i+1＜0，則稱c_i，c_i+1為這個數列{c_n}一對變號項．令cn=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號項的對數．