題目列表(包括答案和解析)
已知函數
（1）若
的極值點，求實數a的值；
（2）若
上為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當
有實根，求實數b的最大值。
【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。主要是極值的概念和根據單調區(qū)間，求解參數的取值范圍，以及利用函數與方程的思想求解參數b的最值。
設函數f（x）=
在[1，+∞
上為增函數.
（1）求正實數a的取值范圍；
（2）比較
的大小，說明理由；
（3）求證：
（n∈N*, n≥2）
【解析】第一問中，利用
解:（1）由已知：
，依題意得：
≥0對x∈[1，+∞恒成立
∴ax－1≥0對x∈[1，+∞恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1
（2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=
在[1，+∞)上為增函數，
∴n≥2時：f（
）=
(3) ∵
∴
已知
，函數
（1）當
時，求函數
在點(1，
)的切線方程；
(2)求函數在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個實數x0，使
>g(xo)成立，求正實數
的取值范圍。
【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中
，那么當時，
又 
所以函數在點(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當時， 又
∴ 函數在點(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當
即時
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當
即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設，
對
求導，得
∵
， 
∴ 在區(qū)間
上為增函數，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實數的取值范圍是（
，
）
設函數
．
（I）求
的單調區(qū)間；
（II）當0<a<2時，求函數
在區(qū)間
上的最小值．
【解析】第一問定義域為真數大于零，得到
．
．
令
，則
，所以
或
，得到結論。
第二問中，
（
）．
．
因為0<a<2，所以
，
．令
可得
．
對參數討論的得到最值。
所以函數
在
上為減函數，在
上為增函數．
（I）定義域為． ………………………1分
．
令，則，所以或． ……………………3分
因為定義域為，所以．
令
，則
，所以
．
因為定義域為，所以
． ………………………5分
所以函數的單調遞增區(qū)間為
，
單調遞減區(qū)間為
．
………………………7分
（II） （）．
．
因為0<a<2，所以，．令 可得．…………9分
所以函數在上為減函數，在上為增函數．
①當
，即
時，
在區(qū)間上，在上為減函數，在
上為增函數．
所以
． ………………………10分
②當
，即
時，在區(qū)間
上為減函數．
所以
．
綜上所述，當時，
；
當時，
已知函數
，
．
（Ⅰ）若函數
和函數
在區(qū)間
上均為增函數，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）若方程
有唯一解，求實數
的值．
【解析】第一問， 
當0<x<2時，
，當x>2時，
，
要使
在(a,a+1)上遞增，必須
如使
在(a,a+1)上遞增，必須
，即
由上得出，當
時，在
上均為增函數
（Ⅱ）中方程有唯一解
有唯一解
設
（x>0）
隨x變化如下表
|
x |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
極小值 |
|
由于在
上，
只有一個極小值，
的最小值為-24-16ln2，
當m=-24-16ln2時，方程有唯一解得到結論。
（Ⅰ）解：
當0<x<2時，，當x>2時，，
要使在(a,a+1)上遞增，必須
如使在(a,a+1)上遞增，必須，即
由上得出，當時，在上均為增函數 ……………6分
（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解
設
（x>0）
隨x變化如下表
|
x |
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
極小值 |
|
由于在上，只有一個極小值，的最小值為-24-16ln2，
當m=-24-16ln2時，方程有唯一解
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