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（本小題滿分16分）
設數列的前項和為，已知（）．
（1）求的值；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）抽去數列中的第1項，第4項，第7項，……，第項，……，余下的項順序不變，組成一個新數列，若的前項的和為，求證：．

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一、填空題：

1.    2. 三    3.  1    4.  25  5.    6. -1  7.     8. (1,0)

9.    10.  8    11. 1   12. （0，2）  13. 2026    14. ①②③

二、解答題：

15. 解：（1）因為，，所以

_{…………………………4分}

            ……………………………………………………..6分

因此，當，即（）時，取得最大值；…8分

（2）由及得，兩邊平方得

，即．……………………………………………12分

因此，．……………………………14分

16.解：由已知不等式得

    　　　　①

或　　          　　②

不等式①的解為

不等式②的解為或…………………………………………………4分

因為，對或或時，P是正確的………………………..6分

對函數求導…8分

令，即

當且僅當D>0時，函數f()在(－¥,+¥)上有極值

由得或，

因為，當或時，Q是正確的………………………………………………12分

綜上，使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為(-¥,-1)È……….14分

17.解：（1）因為函數的圖象關于原點對稱，所以即，

，得或……………………………………….2分

當時，舍去；

當時，，令，解得或.

所以符合條件的m值為-1 …………………………………………………………………4分

（2）由（1）得，任取，

……………………6分

   ∴，

∴………………………………………………………………….8分

∴當時，即，此時為增函數；

當時，即，此時為減函數…10分

（3）由（2）知，當時在上為減函數；同理在上也為減函數

當時，與已知矛盾，舍去；………………12分

當時，因為函數的值域為

∴且，解得，……………………………………14分

18.解：（1）由，令，則，又，所以.

，則.  …………………………………………………………………………………….2分

當時，由，可得. 即..6分

所以是以為首項，為公比的等比數列，于是. ……8分

（2）數列為等差數列，公差,可得. ….10分

從而. ……………………………………………..12分

∴……….16分

19.解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為 ……………………………………….4分

故所求函數及其定義域為 ………………………….6分

(2)依題意知a，v都為正數，故有

當且僅當．即時上式中等號成立………………………...8分

（1）若，即時則當時，全程運輸成本y最小.10分

（2）若，即時，則當時，有

.

。也即當v=100時，全程運輸成本y最小．…….14分

綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為千米/時；

當時行駛速度應為v=100千米/時。………………………………………………16分

20．解： (1)  ，當，，單調遞減，當，，單調遞增．………………………………………………………………..2分

① ，t無解；

② ，即時，；

③ ，即時，在上單調遞增，；

所以．…………………………………………………………..6分

(2)  ，則，………………………………………..8分

設，則，，，單調遞減，，，單調遞增，所以……………………….10分

因為對一切，恒成立，所以；………………..12分

（3） 問題等價于證明，由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到………………………………………………………….14分

設，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立．……………………………..16分