Question

（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列的前項和為，已知（）．
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）抽去數(shù)列中的第1項，第4項，第7項，……，第項，……，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，若的前項的和為，求證：．

Answer 1

（1）
（2）見解析
（3）見解析

（1）令n=1和n=2求出數(shù)列的前2項；（2）利用已知式子構(gòu)造遞推式子，作差得出關(guān)于的遞推式，然后根據(jù)等比數(shù)列的概念求出數(shù)列的通項；（3）先根據(jù)數(shù)列的前N項和知識求出，然后利用放縮思想求出的范圍
解：（1）
（2），①
當(dāng)時，。②
由①-②，得
所以，

是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列。
（3）由（2）得，
抽去數(shù)列中得第1項、第4項、第7項、…、第項得到數(shù)列為為
，它的奇數(shù)項組成一個以4為首項，8為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項組成一個以8為首項，8為公比的等比數(shù)列。
所以當(dāng)時





。
當(dāng)時





。
綜上,