題目列表(包括答案和解析)
橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F2之間的距離為2
，橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
，橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1． 橢圓C的中心為原點， 右焦點F（
，0）， 以短軸的兩端點及F為頂點的三角形恰為等邊三角形.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C內的一點P（0，
）作直線l交橢圓C于M、 N，求MN中點Q的軌跡方程；
（3）在（2）條件下，求△OMN的面積最大值.
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
一、選擇題：(共8題,每小題5分,滿分40分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
A
D
B
B
二、填空題：（每題5分，共30分）
9.
8 10.
60 11. 8
12. 
13.
10或0(答對一個給3分) 14. 
15. 
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
16．（本題滿分12分）
解:(Ⅰ) 
=
……1分
=
……2分
∵
……4分
……6分
∵
……7分
.……8分
(Ⅱ)在
中，
，
，
……9分
由正弦定理知：
……10分
=
.
……12分
17. 本題滿分12分
解:(Ⅰ)由 
知
是方程
的兩根,注意到
得 
.……2分
得
.
等比數列.
的公比為
,
……4分
(Ⅱ)
……5分
……7分
數列
是首項為3,公差為1的等差數列. ……8分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知數列是首項為3,公差為1的等差數列,有
……
=
……
=
……10分
∵
,整理得
,解得
.
……11分
的最大值是7. ……12分
18. 本題滿分14分
解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有
種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有
種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為
.……4分
(Ⅱ)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量,設為X,其所有可能值為0, 
,2,3.……6分
X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎,所以
……7分
同理可得
……8分
……9分
……10分
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是
.……12分
要使促銷方案對商場有利,應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額,因此應有
,所以
, …… 13分
故商場應將中獎獎金數額最高定為100元,才能使促銷方案對商場有利. …… 14分
19.本題滿分14分
.解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,∴
//
,同理
//
, 
//
四邊形EFOG是平行四邊形, 
平面EFOG. ……3分
又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點,PA//EO……4分
平面EFOG,PA
平面EFOG, ……5分
PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分
方法二) 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,∴//,同理
//
又
//AB,//
平面EFG//平面PAB, ……4分
又PA平面PAB,
平面EFG. ……6分
方法三)如圖以D為原點,以
為方向向量建立空間直角坐標系
.
則有關點及向量的坐標為:
……2分
設平面EFG的法向量為
取
.……4分
∵
,……5分
又
平面EFG.
AP//平面EFG. ……6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形
,又∵
面ABCD
又
平面PCD,向量
是平面PCD的一個法向量, =
……8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分
……10分
結合圖知二面角
的平面角為
……11分
(Ⅲ)
……14分
20. 本題滿分14分
(Ⅰ)由題意可得點A,B,C的坐標分別為
.……1分
設橢圓的標準方程是
.……2分
則
……4分
.……5分
橢圓的標準方程是
……6分
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設直線
的方程為
.……7分
設M,N兩點的坐標分別為
聯立方程:
消去
整理得,
有
……9分
若以MN為直徑的圓恰好過原點,則
,所以
,……10分
所以,
,
即
所以,
即
……11分 得
……12分
所以直線的方程為
,或
.……13分
所以存在過P(0,2)的直線:
使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點. ……14分
21: 本題滿分14分
(Ⅰ)
……2分
……4分
(Ⅱ)
(?)0<t<t+2<
，t無解；……5分
(?)0<t<<t+2，即0<t<時，
；……7分
(?)
，即
時，
，
……9分
……10分
(Ⅲ)由題意:
即
可得
……11分
設
,
則
……12分
令
,得
(舍)
當
時,
;當
時, 
當
時,
取得最大值, 
=-2……13分
.
的取值范圍是
.……14分
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