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已知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.設計方案如下圖:航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸,M(0,)為頂點的拋物線的實線部分,降落點為D(8,0).觀測點A(4,0),B(6,0)同時跟蹤航天器.

(1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程;

(2)試問:當航天器在x軸上方時,觀測點A,B測得離航天器的距離分別為多少時,應向航天器發出變軌指令?

學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）．觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發出變軌指令？

學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）．觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發出變軌指令？

學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）．觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發出變軌指令？