（1）證明：；
（2）當點為線段的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）試問E點在何處時，平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為．

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如圖，在棱長為的正方體中，為線段上的點，且滿足
.
（Ⅰ）當時，求證：平面平面；
（Ⅱ）試證無論為何值，三棱錐的體積
恒為定值；
（Ⅲ）求異面直線與所成的角的余弦值.

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一．選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；              10．；            11．；

12．；                  13．{0<≤3}；                      14．③④

三、 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15．解： ；  ………5分

方程有非正實數根

綜上： ……………………12分

16. 解：（Ⅰ）設取出的4件中有2件合格品或3件合格品分別為事件A、B，則

         ∵A、B為兩個互斥事件      ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

        答： 取出2件合格品或3件合格品的概率為…………6分

   （Ⅱ）取出4件都為合格品的事件為C，則P（C）=

至少取出一件次品的事件為事件C的對立事件,其概率為

     答：至少取出一件次品的概率為.…………13分

17．解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2。。。。。。。。。4分

f¢（x）＝3²－－2＝（3＋2）（－1），函數f（x）的單調區間如下表：

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

極大值

¯

極小值

­

所以函數f（）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥）

遞減區間是（－，1）。。。。。。。。。。。7分

（2）f（x）＝³－²－2＋c，Î，由（1）當＝－時，f（x）＝＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。

要使f（x）<c²（Î）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；4分

�。á颍┙猓骸唿c分別是的中點，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴為二面角的平面角，7分

　∵底面，

　∴與底面所成的角即為，

　∴＝，

　∵為直角三角形斜邊的中點，

　∴為等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小為；9分

（Ⅲ）法１：過點作交于點，則或其補角即為異面直

　　　線所成的角，11分

∵為的中點,∴為為的中點, 設，則由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知為直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，13分

∴為直角三角形，為直角，

∴異面直線所成的角為．14分

或者用三垂線定理，首先證明DB與BC垂直也可以

因為　∴＝，又，

所以，即DB與BC垂直

法２：以點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設，則，，，則

則，，，

，∴異面直線所成的角為……………． 14分

19．解：1）由＝.＝，∴＝1；……….4分

（2）＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數，

任取、∈（1，＋∞），且設＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數；……………9分

（3）當直線＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜…………..14分

20．解

（1）當時，     

    設為其不動點，即

則    的不動點是－1，2……….. 4分

（2）由得：.  由已知，此方程有相異二實根，

恒成立，即即對任意恒成立.

…………………. …………10分

（3）設，

直線是線段AB的垂直平分線，   ∴

記AB的中點由（2）知   

化簡得：時，等號成立）.

……………………………………………………………14分