Question

如圖，在棱長為的正方體中，為線段上的點，且滿足

.

  （Ⅰ）當時，求證：平面平面；

（Ⅱ）試證無論為何值，三棱錐的體積

 恒為定值；

  （Ⅲ）求異面直線與所成的角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

18．解：

方法一、證明：（Ⅰ）∵正方體中，面，

又∴平面平面，  ………………2分

∵時，為的中點，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．………4分

（Ⅱ）∵， 為線段上的點，

∴三角形的面積為定值，即，

………………6分

又∵平面，∴點到平面的距離為定值，即，  ………………8分

∴三棱錐的體積為定值，即．

也即無論為何值，三棱錐的體積恒為定值；………………………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，

又平面，∴，              …………………………12分

即異面直線與所成的角為定值，從而其余弦值為．…………………13分

方法二、如圖，以點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系．

（Ⅰ）當時，即點為線段的中點，則，又、

∴，，設平面的法向量為，……1分

則，即，令，解得，         …2分

又∵點為線段的中點，∴，∴平面，

∴平面的法向量為，            ……………3分

∵，

∴平面平面，            ………………………4分

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）∵，∴，   …………………10分

又、、，

∴，，    ……………………………11分

∵    …………………………………12分

∴不管取值多少，都有，即異面直線與所成的角的余弦值為0.……13分

【解析】略