題目列表(包括答案和解析)
在一次數學與語文兩門功課的聯合考試中，備有6道數學題，4道語文題，共10道題可選擇，要求學生從中任意選取5道題作答，答對其中4道或5道即為良好成績，設隨機變量ξ為所選5道題中語文題的個數．
(1)求隨機變量ξ的分布列及數學期望；
(2)若學生甲隨機選定5道題，且答對任意一道題的概率為0.6，求學生甲取得良好成績的概率．(精確到小數點以后兩位)
甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的
道題中，甲答對其中每道題的概率都是
，乙能答對其中的
道題．規定每次考試都從備選的道題中隨機抽出
道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得
分才能入選．
（1）求甲得分的數學期望；
（2）求甲、乙兩人同時入選的概率．
現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答．
（1）求張同學至少取到1道乙類題的概率；
（2）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設張同學答對每道甲類題的概率都是
，答對每道乙類題的概率都是
，且各題答對與否相互獨立．用
表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望．
現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答．
（1）求張同學至少取到1道乙類題的概率；
（2）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設張同學答對每道甲類題的概率都是
，答對每道乙類題的概率都是
，且各題答對與否相互獨立．用
表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望．
甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的
道題中，甲答對其中每道題的概率都是
，乙能答對其中的
道題．規定每次考試都從備選的道題中隨機抽出
道題進行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得
分才能入選．
（1）求甲得分的數學期望；
（2）求甲、乙兩人同時入選的概率．
一、
1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由題意知
，解得
或
，故選B．
2．原不等式即為
，化得
，解得
．故選A．
3．由條件
．對上
，所以
又
，所以
．故選D．
4．設
到
的角為
的斜率
的斜率
，
則
，于是
．故選D．
5．由
解得
，即其反函數為
，又在原函數中由
得
，即其反函數中
．故選C．
6．不等式組化得 
或
平面區域如圖所示，陰影部分面積：
，故選B．
7．由已知得
，而
．故選A．
8．
．故選c．
9．令
，則
，即
的圖象關于（0，0）點對稱，將的圖象向下平移6個單位．得題中函數的圖象，則它的對稱中心為（0，
）．故選D．
10．
．故選A．
11．由條件得：
，則
得
，所以
．故選A．
12．由已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內切圓是球的大圓．設底面正三角形的邊長為
，球半徑為
，則
，又
，解得
，則
，于是
．故選B．
二、
13．
與
平行，
，解得
即
14．設數列
的公比為
，則
，兩式相除，得
，則
．
所以
．
15．由題意知，直線
是拋物線
的準線，而
到的距離等于到焦點
的距離．即求點到點
的距離與到點
的距離和的最小值，就是點與點的距離，為
．
16．一方面．由條件，
，得
，故②正確．
另一方面，如圖，在正方體
中，把
、
分別記作、
，平面
、平面
、平面
分別記作
、
、
，就可以否定①與③．
三、
17．解：
，且
，即
又
．
由正弦定理
又
即
的取值范圍是區間
．
18．解：（1）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為、
，則
，
、相互獨立，∴甲、乙兩人中只有1人通過測試的概率
．
（2）甲答對題數
的所有可能值為
∴甲答對題數的數學期望為
．
19．解：（1）由已知
，∴數列
的公比
，首項
又數列
中，
的公差
，首項
（
時也成立）
∴數列、
的通項公式依次為
．
（2）記
當
時，
和
都是增函數
即時，
是增函數
當
4時，
；
又
時
或，∴不存在
，使
．
20．（1）證明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中點
，連接
交
于點，則
．
與平面所成角的大小等于與平面所成角的大小，取
中點
，連接
、
，則等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
為直線與面所成的角
又
，
∴直線與平面所成的角為
．
（注：本題也可以能過建立空間直角坐標系解答）
21．解：（1）設橢圓方程為
，雙曲線方程為
，半焦距
由已知得
，解得
，則
故橢圓及雙曲線方程分別為
及
．
（2）由向量的數量積公式知，
表示向量
與
夾角的余弦值，設
，即求
的值．
由余弦定理得
①
由橢圓定義得 
②
由雙曲線定義得
③
式②+式③得
，式②一式③
得
將它們代人式①得
，解得
，
所以
．
22，解：（1）由
得
要使在（0，1]上恒為單調函數，只需
或
在（0，1]上恒成立．
∴只需
或
在（0，1]上恒成立
記
或
（2）
，
∴由
得
化簡得
時有
，即
，
則
①
構造函數
，則
在
處取得極大值，也是最大值．
在
范圍內恒成立，而
從而
在范圍內恒成立．
∴在
時，
而
時，
，∴當
時，
恒成立
即時，總有
②
由式①和式②可知，實數的取值范圍是
．
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