題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
； 7．； 8．
； 9．
； 10．
；
11．
； 12．
.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．C； 14．A； 15．B； 16．C；
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．（1）
；
（2）
； 
18．1號至4號正四棱柱形容器是體積依次為
。
∵ 
，
，
∴ 存在必勝方案，即選擇3號和4號容器。
19．（1）∵ 由正弦定理，
，∴ 
，
。
∵ 
， ∴ 
，即
。∴ 
。
（2）∵ 
，
∴ 
。
20．（1）設放水
分鐘內水箱中的水量為
升
依題意得
；
分鐘時，水箱的水量
升, 放水后
分鐘水箱內水量接近最少；
（2）該淋浴器一次有
個人連續洗浴， 于是，
，
所以，一次可最多連續供7人洗浴。
21．（1）由
及
，∴
時
成等比數列。
（2）因
，由（1）知，
，故
。
（3）設存在
，使得
成等差數列，則
，
即
因，所以
，
∴不存在
中的連續三項使得它們可以構成等差數列。
22．(1)解：設
為函數
圖像的一個對稱點，則
對于
恒成立.即
對于恒成立，
由
，故
圖像的一個對稱點為
.
（2）解：假設
是函數
(
的圖像的一個對稱點，
則
(對于恒成立，
即
對于恒成立，因為
，所以不
恒成立，
即函數(的圖像無對稱點.
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