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本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到10頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試題卷上。

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                           球是表面積公式

如果事件A、B相互獨立，那么                           其中R表示球的半徑

                        球的體積公式

如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么                 

n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率              其中R表示球的半徑

一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

B

D

B

A

C

A

C

A

B

（1）已知集合，集合，則集合

（A）                   （B） 

（C）                   （D）

（2）復數的虛部為

（A）          （B）            （C）          （D） 

（3）已知，下面結論正確的是

（A）在處連續                      （B） 

（C）                           （D）

（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為

（A）      （B）     （C）       （D）

（5）下列函數中，圖象的一部分如右圖所示的是

（A）                  （B） 

（C）                 （D）

 （6）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于

（A）      （B）     （C）       （D）

(7) 如圖，已知正六邊形，下列向量的數量積中最大的是

（A）                  （B） 

（C）                  （D）

(8) 某廠生產甲產品每千克需用原料和原料分別為，生產乙產品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數學模型中，約束條件為

 （A）  （B）    （C）     （D） 

(9) 直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為

（A）         （B）             （C）              （D）

(10) 已知球的半徑是，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，兩點的球面距離是，則二面角的大小是

（A）             （B）              （C）              （D）

（11）設分別是的三個內角所對的邊，則是的

（A）充分條件                             （B）充分而不必要條件

（C）必要而充分條件                       （D）既不充分又不必要條件

（12）從到這個數字中任取個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數不能被整除的概率為

（A）            （B）               （C）           （D）

第Ⅱ卷

二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。

（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點，則與平面所成角的大小是________________（用反三角函數表示）

（14）設離散性隨機變量可能取的值為，又的數學期望，則________________;

（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點

作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則

________________;

（16）非空集合關于運算滿足：（1）對任意，都有；

（2）存在，使得對一切，都有，則稱關于運算為“融洽集”；現給出下列集合和運算：

①               ②

③            ④

⑤

其中關于運算為“融洽集”______①，③__________;（寫出所有“融洽集”的序號）

三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本大題滿分12分）

已知是三角形三內角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

本小題主要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴  即

, 

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

（18）（本大題滿分12分）

    某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實驗考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結果保留三位小數）

本小題主要考察相互獨立事件、互斥事件、對立事件等概率的計算方法，考察應用概率知識解決實際問題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對立事件，；記“甲實驗考核合格”為事件；“乙實驗考核合格”為事件；“丙實驗考核合格”為事件；

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件

解法1：

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

     所以，這三人該課程考核都合格的概率為

（19）（本大題滿分12分）

如圖，在長方體中，分別是的

中點，分別是的中點，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱錐的體積。

本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關系等基礎知識，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：（Ⅰ）證明：取的中點，連結

       ∵分別為的中點

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）設為的中點

∵為的中點   ∴   ∴面

作，交于，連結，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

∵分別是的中點

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則∵

設，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴

（20）（本大題滿分12分）

     已知數列，其中，記數列的前項和為，數列的前項和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設，（其中為的導函數），計算

本小題主要考察等差數列、等比數列的基礎知識，以及對數運算、導數運算和極限運算的能力，同時考查分類討論的思想方法，滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意，是首項為，公差為的等差數列

 前項和，

（Ⅱ）  

（21）（本大題滿分14分）

     已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積

本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設，由已知，得

∴，

又，

∴點

將點的坐標代入曲線的方程，得 

得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點的坐標為

到的距離為    

∴的面積

   （22）（本大題滿分14分）

     已知函數，的導函數是，對任意兩個不相等的正數，證明：

       （Ⅰ）當時，

       （Ⅱ）當時，

        本小題主要考查導數的基本性質和應用，函數的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。

   證明：（Ⅰ）由

 得

               而  ①

               又

              ∴  ②

             ∵   ∴

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）證法一：由，得

∴

下面證明對任意兩個不相等的正數,有恒成立

即證成立

∵

設，則

令得，列表如下：

極小值

       ∴

∴對任意兩個不相等的正數，恒有

證法二：由，得

∴

∵是兩個不相等的正數

∴

設，

則，列表：

極小值

∴   即

∴

即對任意兩個不相等的正數，恒有

錄入：四川省內江市隆昌縣黃家中學     

程   亮                    

lc_chengliang@163.com              

參考答案

一．選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

B

D

B

A

C

A

C

A

B

（1）已知集合=，集合，則集合，選C.

（2）復數=,所以它的虛部為－2，選D.

（3）已知，則，而，∴ 正確的結論是，選D.

（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.

（5）從圖象看出，T=，所以函數的最小正周期為π，函數應為y=向左平移了個單位，

即=，所以選D.  

（6）已知兩定點，如果動點滿足，設P點的坐標為(x，y)，

則，即，所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B.

 (7) 如圖，已知正六邊形，設邊長，則∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 數量積中最大的是，選A.

 (8) 某廠生產甲產品每千克需用原料和原料分別為，生產乙產品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產甲產品和乙產品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設全月生產甲、乙兩種產品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數學模型中，約束條件為，選C.

 (9) 直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，聯立方程組得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選A.

 (10) 已知球的半徑是R=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C.

（11）設分別是的三個內角所對的邊，若，

則，則，

∴ ，，

又，∴ ，∴ ，，

若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，

所以是的充要條件，選A.

（12）從到這個數字中任取個數字組成一個沒有重復數字的三位數，這個數不能被整除。

所有的三位數有個，將10個數字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數被3整除，則可以分類討論：①三個數字均取第一組，或均取第二組，有個；② 若三個數字均取自第三組，則要考慮取出的數字中有無數字0，共有個；③ 若三組各取一個數字，第三組中不取0，有個，④若三組各取一個數字，第三組中取0，有個，這樣能被3 整除的數共有228個，不能被整除的數有420個，所以概率為=，選B。

二填空題：

（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點，設，則，，O點在底面的射影為底面△ABC的中心，=，又，與平面所成角的正切是，所以二面角大小是.

（14）設離散性隨機變量可能取的值為，所以

，即，又的數學期望，則

，即，,∴ .

（15）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則根據橢圓的對稱性知，，同理其余兩對的和也是，又，∴ =35

（16）非空集合關于運算滿足：（1）對任意，都有；

（2）存在，使得對一切，都有，則稱關于運算為“融洽集”；現給出下列集合和運算：

①,滿足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；

②,若存在，則，矛盾，∴ ②不符合要求；

③,取，滿足要求，∴ ③符合要求；

④，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，所以④不符合要求；

⑤，兩個虛數相乘得到的可能是實數，∴ ⑤不符合要求，

這樣關于運算為“融洽集”的有①③。

三．解答題：

17．本小題主要考察三角函數概念、同角三角函數的關系、兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴  即

, 

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

18．本小題主要考察相互獨立事件、互斥事件、對立事件等概率的計算方法，考察應用概率知識解決實際問題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對立事件，；記“甲實驗考核合格”為事件；“乙實驗考核合格”為事件；“丙實驗考核合格”為事件；

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件

解法1：

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

     所以，這三人該課程考核都合格的概率為

19．本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關系等基礎知識，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：（Ⅰ）證明：取的中點，連結

       ∵分別為的中點

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）設為的中點

∵為的中點   ∴   ∴面

作，交于，連結，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則

∵分別是的中點

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則∵

設，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴

20．本小題主要考察等差數列、等比數列的基礎知識，以及對數運算、導數運算和極限運算的能力，同時考查分類討論的思想方法，滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意，是首項為，公差為的等差數列

 前項和，

（Ⅱ）  

21．本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設，由已知，得

∴，

又，

∴點

將點的坐標代入曲線的方程，得 

得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點的坐標為

到的距離為    

∴的面積

22．本小題主要考查導數的基本性質和應用，函數的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。

   證明：（Ⅰ）由

 得

               而  ①

               又

              ∴  ②

             ∵   ∴

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）證法一：由，得

∴

下面證明對任意兩個不相等的正數,有恒成立

即證成立

∵

設，則

令得，列表如下：

極小值

       ∴

∴對任意兩個不相等的正數，恒有

證法二：由，得

∴

∵是兩個不相等的正數

∴

設，

則，列表：

極小值

∴   即

∴

即對任意兩個不相等的正數，恒有