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（1）―（12）DACBD     BBAAD    CC

(13) 2      (14) 32     (15)     (16)34  

（1）定義集合運算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為（ D  ）

（A）0       （B）6           （C）12                 （D）18

解：當x＝0時，z＝0，當x＝1，y＝2時，z＝6，當x＝1，y＝3時，z＝12，故所有元素之和為18，選D

（2）函數y=1+a^x(0<a<1)的反函數的圖象大致是（ A  ）

   （A）            （B）           （C）               （D）

解：函數y=1+a^x(0<a<1)的反函數為，它的圖象是函數向右移動1個單位得到，選A

(3)設f(x)=  則不等式f(x)>2的解集為（  C ）

(A)（1，2）（3，+∞）                 (B)（，+∞）

(C)（1，2） （ ，+∞）            (D)（1，2）

解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+∞）

選C

（4）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=（  B  ）

(B)   1          （B）2           （C）―1           （D）

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，選B

（5）設向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d為（  D ）

(A)(2,6)         (B)(－2,6)         (C)(2,－6)              (D)(－2,－6)

解：設d＝（x，y），因為4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依題意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，選D

(6)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為（ B  ）

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

解：因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函數

f（x）的周期為4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，選C

（7）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（  B ）

(A)          (B)            (C)                   (D)

解：不妨設橢圓方程為（a>b>0），則有，據此求出e＝，選B

  （8）設p：x－x－20>0,q：<0,則p是q的（  A  ）

（A）充分不必要條件                      （B）必要不充分條件

（C）充要條件                            （D）既不充分也不必要條件

解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助圖形知選A

（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為（  A ）

(A)33         (B) 34           (C) 35               (D)36

解：不考慮限定條件確定的不同點的個數為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個數確定的不同點的個數只有三個，故所求的個數為36－3＝33個，選A

（10）已知的展開式中第三項與第五項的系數之比為－,其中=－1，則展開式中常數項是（ A   ）

(A)－45i      (B) 45i        (C) －45            (D)45

解：第三項的系數為－，第五項的系數為，由第三項與第五項的系數之比為－可得n＝10，

則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數項為＝45，選A

（11）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是（C    ）

(A)80      (B) 85         (C) 90           (D)95

解：畫出可行域：

易得A（5.5，4.5）且當直線z＝10x＋10y過A點時，

z取得最大值，此時z＝90，選C

（12）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為（  C  ）

(A)     (B)       (C)          (D) 

                                             （12題圖）

解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，選C

絕密★啟用前

2006年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）

理科數學（必修+選修II）

注意事項：

1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。

2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。

得分

評卷人

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.答案須填在題中橫線上.

（13）若  2        .

解：      

（14）已知拋物線y²=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)兩點，則的最小值是  32        .

解：顯然³0，又＝4（）³8，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。

（15）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是A₁C₁的 中點，則直線AD 與平面B₁DC所成角的正弦值為            .

                                                                （15題圖）

解：易證B₁^平面AC₁，過A點作AG^CD，則

AG^平面B₁DC，于是ÐADG即ÐADC為直線AD 與平面B₁DC所成角，由平面幾何知識可求得它的正弦值為。

（16）下列四個命題中，真命題的序號有                  （寫出所有真命題的序號）.

①將函數y=的圖象按向量y=(-1,0)平移，得到的圖象對應的函數表達式為y=

②圓x²+y²+4x-2y+1=0與直線y=相交，所得弦長為2

③若sin(+)=，sin(－)=,則tancot=5

④如圖，已知正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁，P為底面ABCD內一動點，P到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分.

解：①錯誤，得到的圖象對應的函數表達式應為y＝|x－2|

②錯誤，圓心坐標為（－2，1），到直線y=的距離為

>半徑2，故圓與直線相離，                        

③正確，sin(+)=＝sincos＋cossin

sin(－)＝sincos－cossin＝

兩式相加，得2 sincos＝，

兩式相減，得2 cossin＝，故將上兩式相除，即得tancot=5

④正確，點P到平面AD₁的距離就是點P到直線AD的距離，

點P到直線CC₁就是點P到點C的距離，由拋物線的定義

可知點P的軌跡是拋物線。

                                                            （16題圖）

三．解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）

已知函數，且的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1,2）.

（I）求

（II）計算.

解：（I）

的最大值為2，.

又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，，

.

過點，

又

.

（II）解法一：，

.

又的周期為4，，

解法二：

又的周期為4，，

18．（本小題滿分12分）設函數，其中，求的單調區間.

解：由已知得函數的定義域為，且

（1）當時，函數在上單調遞減，

（2）當時，由解得

、隨的變化情況如下表

―

0

+

極小值

從上表可知

當時，函數在上單調遞減.

當時，函數在上單調遞增.

綜上所述：

當時，函數在上單調遞減.

當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.

19．（本小題滿分12分）

如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設

（1）求證直線是異面直線與的公垂線；

（2）求點A到平面VBC的距離；

（3）求二面角的大小。

解法1：

（Ⅰ）證明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

為與的公垂線.

（Ⅱ）解法1：過A作于D，

         ∵△為正三角形，

∴D為的中點.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點A到平面的距離.

在正△中，.

∴點A到平面的距離為.

解法2：取AC中點O連結，則⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，設A到平面的距離為x，

，

即，解得.

即A到平面的距離為.

則

所以，到平面的距離為.

(III)過點作于，連，由三重線定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小為arctan.

解法二：

取中點連,易知底面，過作直線交。

取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則。

（I），，

，

。

    又

由已知。

，

而。

又顯然相交，

是的公垂線。

（II）設平面的一個法向量，

  又

  由

取 得

點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

，設所求距離為。

       則

              所以，A到平面VBC的距離為.

（III）設平面的一個法向量

由                                 

取    

二面角為銳角，

所以，二面角的大小為

20．（本小題滿分12分）

袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個小球上的最大數字，求：

（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；

（2）隨機變量ξ的概率分布和數學期望；

（3）計分介于20分到40分之間的概率。

解：（I）解法一：“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為，

則

解法二：“一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因為

所以.

（II）由題意有可能的取值為：2，3，4，5.

所以隨機變量的概率分布為

2

3

4

5

因此的數學期望為

（Ⅲ）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，則

21．（本小題滿分12分）

雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點的直線，交雙曲線C于A、B兩點，交軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當，且時，求點的坐標。

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

    由橢圓 

求得兩焦點為，

對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

  解得 ，

雙曲線的方程為

（Ⅱ）解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設的方程：，

則

在雙曲線上，

同理有：

若則直線過頂點，不合題意.

是二次方程的兩根.

，

此時.

所求的坐標為.

解法二：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設的方程，，則.

，

分的比為.

由定比分點坐標公式得

下同解法一

解法三：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設的方程：，則.

，

.

，

，，

又，

即

將代入得

，否則與漸近線平行。

。

解法四：

由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設的方程：，

則

,

。

同理      

.

即    。                                    （*）

消去y得.

當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。

由韋達定理有：

代入（*）式得    

所求Q點的坐標為。

22．（本小題滿分14分）

已知，點在函數的圖象上，其中

（1）證明數列是等比數列；

（2）設，求及數列的通項；

（3）記，求數列的前項，并證明

解：（Ⅰ）由已知，

              ，兩邊取對數得

，

即

是公比為2的等比數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

                                 （*）

                     =

              由（*）式得

（Ⅲ）

又

又

.