Question

探究函數f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）若當x＞0時，函數f（x）=x+

4

x

時，在區間（0，2）上遞減，則在

 

上遞增；
（2）當x=

 

時，f（x）=x+

4

x

，x＞0的最小值為

 

；
（3）試用定義證明f（x）=x+

4

x

，x＞0在區間上（0，2）遞減；
（4）函數f（x）=x+

4

x

，x＜0有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？
解題說明：（1）（2）兩題的結果直接填寫在答題卷中橫線上；（4）題直接回答，不需證明．

Answer 1

分析：（1）由表中的數據可得函數的單調性；
（2）由表中的數據可以得出函數的最值；
（3）用定義法證明單調性，可先取任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，再研究f（x₁）-f（x₂）的差的符號，由定義得出函數的單調性；
（4）由于函數是一個奇函數，故可由函數的對稱性得出答案．

解答：解：（1）若函數f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）時，在區間（0，2）上遞減，則在（2，+∞） 上遞增；
（2）當x=2 時，f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值為4；---（4分）
（3）設任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)-----（10分）
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0f（x₁）＞f（x₂），即
∴f（x）=x+

4

x

  在區間（0，2）上單調遞減---------------（12分）
（4）函數f（x）=x+

4

x

，x＜0有最大值，當x=-2時，最大值是-4----（14分）

點評：本意考查函數奇偶性的判斷及函數的單調性的證明的方法--定義法，解題的關鍵是熟練掌握函數的單調性的證明方法與函數的奇偶性的判斷方法，熟練掌握一些基本函數的性質有利于快速解答本題