2009年山東省威海市普通高中畢業年級統一考試
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至3頁，第Ⅱ卷4至11頁．共150分。考試時間120分鐘。
第I卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、考試號、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。
3．考試結束，監考人將本試卷和答題卡一并收回。
答題可能用到大參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積的體積公式
如果事件互相獨立，那么
其中
表示球的半徑
如果事件A在一次實驗中發生的
概率是
，那么它在
次獨立重復 
實驗中恰好發生
次的概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．曲線
與
軸圍成的封閉圖形的面積是
A．1
B．
2．復數
（
為實數，
是虛數單位）且
，則的值為
A．1
B．
D．不存在
3．
的展開式中
的系數為
A．240
B．
4．已知
則
的最小值是
A．8
B．
5．經過拋物線
的焦點且平行于直線
的直線的方程是
A．
B．
C．
D．
6．如果命題“
”是真命題，則正確的是
A．
、
均為真命題
B．、中至少有一個為真命題
C．、均為假命題
D．、中至多有一個為真命題
7．等差數列
的前
項和為
在等比數列
中，
，
，則
的值為
A．3 B．2
C．
D．
8．某同學對下表所示的統計數據進行分析：
觀測次數
1
2
3
4
5
6
7
觀測數據
48
43
47
41
46
40
43
其中一部分計算見右圖所示的算發流程圖，則輸出的
的值是
A．7 B．8
C．9 D．72
9．已知直線
、，平面
、
，下列命題中正確的是
A．若
B．若
C．若
D．若
10．若函數
的最大值為4，最小值為0，最小正周期為
，直線
是其圖象的一條對稱軸，則它的解析式是
A．
B．
C．
D．
11．已知
則
的值是
A．
B．
C．
D．
12．右圖是函數
的部分圖象，
則函數
的零點所在的
區間是
A．
B．
C．
D．
2009年威海市普通高中畢業年級統一考試
理 科 數 學
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項：
1．第Ⅱ卷共8頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上。
13．右圖是某地10000名居民
的月收入調查數據頻率分
布直方圖，現要從這些人
中再用分層抽樣方法抽出
100人作進一步調查，則
在
（元）收
入段應抽出_________人。
14．以雙曲線
的焦點為圓心且與它的漸近線相切的圓的半徑為_________。
15．已知、
為正實數，且
則
的最小值是_______________。
16．右圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是____________。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
在
中，角
、
、
的對分別是、
、
，且向量
（I）求角；
（Ⅱ）若三邊、、成等差數列，
，求。
18．（本小題滿分12分）
中國籃球職業聯賽（CBA）某賽季總決賽在某兩隊之間進行，比較采用七局四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊獲勝，比賽就此結束，因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為而分之一，據以往資料統計，第一場比賽組織者可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元。
（I）若組織者在此次決賽中獲得的門票收入恰好為300萬元，問此次決賽共比賽了多少場？
（Ⅱ）求組織者在此次決賽中要獲得的門票收入不少于390萬元的概率為多少？
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知直四棱柱
，底面
為平行四邊形，
，且
、
、
三條棱的長組成公比為
的等比數列。
（I）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
20．（本小題滿分12分）
已知函數
的定義域為
，
且
。
（I）若函數
在
上是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅱ）求證：
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸，離心率為，且過點
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若過點（0，-6）的直線
與橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且以、為直徑的圓過橢圓的右頂點，求直線的方程。
22．（本小題滿分14分）
設數列滿足
（I）求證：
（Ⅱ）求證：
；
2009年威海市普通高中畢業年級統一考試
理科部分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
BAACA CDBCD AC
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．25 14．
15．8
16．
三、解答題
17．（本小題滿分12分）
解：（I）
（Ⅱ）
18．（本小題滿分12分）
解：（I）依題意，每場比賽獲得的門票收入數組成首項為40，公差為10的等差數列，
設此數列為
，則易知
此次決賽共比賽了5場。
（Ⅱ）由
若要獲得的門票收入不少于390萬元，則至少要比賽6場。
①若比賽共進行了6場，則前5場比賽的比分必為2：3，且第6場比賽為領先一場的
球隊獲勝，其概率
②若比賽共進行了7場，則前6場勝負為3：3，則概率
門票收入不少于390萬元的概率為
19．（本小題滿分12分）
解：方法一（向量法）；
（I）證明：以
點為原點，棱
所
在的直線分別為
軸和
軸建立空間直角坐標系
（右手系），設
，則
，
又已知
，可求得以下各點的
坐標為
（Ⅱ）
已知
是直四棱柱，
，又由（I）知
，
即是平面
的法向量。
設平面
的法向量為
則
且
由圖形可知，二面角
的平面為銳角，
二面角的大小為 
方法二（綜合法）：
（I）
是直四棱柱，
（Ⅱ）在
內，過
點作
的垂線， 交
點，連結
。
由（I）知
垂線定理知，
就是二面角的平面角。
同（I）一樣，不妨設
在
內，
二面角的大小為
20．（本小題滿分12分）
解：（I）
令
顯然當
（Ⅱ）①當
時， 函數
在
上是單調減函數，
在
上的最小值 ， 
又
綜上，對任意
本問也可以這樣證：
（Ⅱ）函數在
上單調遞增，在
和上單調遞減，
對任意
21．（本小題滿分12分）
解：（I）設橢圓
的方程為
橢圓方程化為
將點
代入，解得
，橢圓的方程為
（Ⅱ）顯然，直線
存在斜率（否則不滿足題意，5分），設其斜率為，則直線的方程為
。代入橢圓的方程，消去
并整理得
由方程判別式
， 得
①
設
兩點的坐標為
，則由韋達定理得
將上面使用韋達定理所得的結果代入，并去分
母整理（注意在方程兩邊先約去9可以簡化計算）得
檢驗①式，均符合；再檢驗當
時，直線是否與橢圓相交于左右兩個頂點，顯然直線
過橢圓的右頂點。
不滿足題意，舍去 
直線的方程為
22．（本小題滿分14分）
解：（I）方法一：當
時，顯然由已知可得
成立。
假設
時成立，即
則當
時，根據題意有
當時，成立。
根據數學歸納法可知，對任意
，成立
方法二：
……，
， 將這
個等式累乘（相乘），得
將
代入得 
檢驗當時，上式也成立， 
方法三：
（Ⅱ）由（I）知
又由
（Ⅲ）當
時，由（Ⅱ）可知，有不等式
成立
將這個同向不等式累加起來，得
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