廣東省珠海市2009年高三第二次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)（文科）試題
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．函數(shù)
的定義域是
A．
B．
C．
D．
2．若復(fù)數(shù)
是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，則實數(shù)a的值為
A．6 B．-6 C．3 D．-3
3．函數(shù)
的大致形狀是
4．已知等差數(shù)列
中，
則數(shù)列的前15項和是
A．28 B．30 C．32 D．35
5．如圖，在
中，已知
，則
A．
B．
C．
D．
6．如果實數(shù)
滿足：
，則目標函數(shù)
的最大值為
A．2 B．3 C．
D．4
7．右邊流程圖中, 語句“
”將被執(zhí)行的次數(shù)是
A．4 B．5
C．6 D．7
8．將函數(shù)
圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的
（縱坐標不變），得到圖象
，再將圖象沿
軸向左平移
個單位，得到圖象
，則圖象的解析式可以是B
A．
B．
C． 
D．
9．點P在圓
上，則點P到直線
的最短距離是
A．
B．
C．
D．0
10．下列四種說法中,錯誤的個數(shù)是
①．命題“
”的否定是“
” ；
②．“命題
為真”是“命題
為真”的必要不充分條件；
③．“若
”的逆命題為真；
④．若實數(shù)
,則滿足:
的概率為
．
A．
B．1
C．2 D．3
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．
11．以
為頂點且離心率為
的雙曲線的標準方程是
12．宏景居民小區(qū)由A．B．C．D四個片組成，其中A片有340人，B片有620人，C片有460人，D片有500人．現(xiàn)準備對居民進行問卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，從四個片區(qū)中隨機抽取若干名進行調(diào)查．現(xiàn)知從A片抽取的人數(shù)為17人，則從C片抽取的人數(shù)應(yīng)為____________．
13．一個五面體的三視圖如下，正視圖與側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，部分邊長如圖所示，則此五面體的體積為
14．（幾何證明選講選做題）
如下圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，
于D，若AD=1，
，則圓O的面積是
．
15．（坐標系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標系中，點A和點B的極坐標分別為
和
，O為極點，則三角形OAB的面積=_____．
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知直角坐標平面上四點
,滿足
．
（1）求
的值；（2）求
的值．
17．（本小題滿分12分）
一個袋子中有藍色球
個，紅．白兩種顏色的球若干個，這些球除顏色外其余完全相同．
（1）甲從袋子中隨機取出1個球，取到紅球的概率是
，放回后乙取出一個球，取到白球的概率是
，求紅球的個數(shù)；
（2）從袋子中取出4個紅球，分別編號為1號．2號．3號．4號．將這四個球裝入一個盒子中，甲和乙從盒子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求兩球的編號之和不大于
的概率．
18．（本小題滿分14分）
（立體幾何題目選）如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，
AA1＝4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC 1//平面CDB1；
（3）求多面體
的體積．
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓
，
是其左右焦點．
（1）若
為橢圓上動點，求
的最小值；
（2）若
分別是橢圓長軸的左右端點，為橢圓上動點，設(shè)直線
斜率為
，且
，求直線
斜率的取值范圍．
20．（本小題滿分14分）
已知正數(shù)數(shù)列滿足：
，其中
為數(shù)列的前
項和．
（1）求數(shù)列的通項
；
（2）求
的整數(shù)部分．
21．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)
，
（1）求
的極值點；
（2）對任意的
，以
記在
上的最小值，求
的最小值．
DCABC CBBAC
11
12 23
13 2
14 4π
15
16解 （1）
1分
2分
由已知有
4分
6分
（2）
10分
= 
11分
= 
12分
17解：（1）設(shè)紅球有
個，白球
個，依題意得 1分
，
3分
解得
故紅球有6個．
5分
（2）記“甲取出的球的編號大”為事件A，
所有的基本事件有：(1，2)，(l，3)，(1，4)，
(2，1)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，4)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，
共12個基本事件 8分
事件A包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，（1，4）（2，1），
（2，3），（3，1），（3，2）（4，1），
共8個基本事件
11分
所以，． 
12分
18解：（1）底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∠ACB=90°，∴ AC⊥BC， （2分）
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC
底面ABC，∴CC1⊥AC，（3分）
BC．CC1平面BCC1，且BC 與CC1相交
∴ AC⊥平面BCC1； （5分）
而BC1平面BCC1
∴ AC⊥BC1 （6分）
（2）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點，E是BC1的中點，
∴ DE//AC1， （8分）
∵ DE平面CDB1，AC1
平面CDB1，
∴ AC1//平面CDB1；（10分）
（3）
（11分）
=
-
（13分）
=20 （14分）
19解：（1）設(shè)橢圓的半長軸長．半短軸長．半焦距分別為a,b,c,則有
,
由橢圓定義，有
………1分
＝
……………………………2分
＝
……………………3分
≥
…………………………………………5分
＝
＝
……………………………………………6分
∴的最小值為。
（當(dāng)且僅當(dāng)
時，即
取橢圓上下頂點時，取得最小值 ）………………………………………7分
（2）設(shè)
的斜率為
，
則
，
…………………………………………8分
…………………………………………9分
∴
＝
及
…………………………………………10分
則＝
＝ 又
…………………………………………12分
∴
…………………………………………13分
故斜率的取值范圍為（
） …………………………………………14分
20解：（1）
，……………………1分
即
，
即
，
，
…………………………………………2分
∴
為等差數(shù)列，
…………………………………………3分
又
，
…………………………………………4分
∴
，
…………………………………………5分
∴
…………………………………………7分
（2）
…………………………………………8分
當(dāng)
時，
…………………………………………11分
，
…………………………………………13分
的整數(shù)部分為18。
…………………………………………14分
21解：（1）
………（1分）
由
解得：
………（2分）
當(dāng)
或
時，
………（3分）
當(dāng)
時，
………（4分）
所以，有兩個極值點：
是極大值點，
；
………（5分）
是極小值點，
。 ………（6分）
(2) 過點
做直線
，與
的圖象的另一個交點為A
，則
,即
………（8分）
已知有解
，則
解得
………（10分）
當(dāng)
時，
；
………（11分）
當(dāng)
時，
，
，
其中當(dāng)
時，
；………（12分）
當(dāng)
時，
……（13分）
所以，對任意的
，
的最小值為
（其中當(dāng)時，）．……（14分）
（以上答案和評分標準僅供參考，其它答案，請參照給分）lf
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