宜春市2006年高考模擬考試
數學(理科)試卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題均史有唯一正確答案12×5分=60分)
1.復Z在映射f下的象為z?i，則-1+2i的原象為
A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i
2.已知集合M不={(x，y)|y≤x},P={(x,y)|x+y≤2},S={(x,y)|y≥0},T=M∩P∩S,點E(x，y)∈T，則3y+x的最大值為
A.充分不必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件
3.已知集合M={(x，y)|y≤x},P={(x，y)|x+y≤2},S={(x，y)|y≥0},T=M∩P∩S,點E(x,y)∈T,則3y+x的最大值為
A.0
B
4.已知函數f(x)=
，按向量
平移此函數圖象，使其比簡為反比例函數的解析式，則向為
A.(-1，1) B.(1，-1) C.(-1，-1) D.(1，1)
5.若在二項式(3x+5)10的展開式中任取一項，則該項的系數為奇數的概率為
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,則△ABC的形狀是
A.不等邊三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
7.F1、F2是雙曲線
=1的左、右焦點，P、Q為右支上兩點，直線PQ過F2，且傾斜角為α，則|PF1|+|QF1|-|PQ|的值為
A.16 B
8.已知a>0，設命題P：函數f(x)=x+
在區間(1，2)上單調遞增，命題Q：不等式|x-1|-|x+2|<4a對任意x∈R都成立，若P或Q為真命題，P且Q為假命題，則實數a的取值范圍是
A.
B.
C.0<a≤
或a>1 D.0<a<或a≥1
9.拋物線y=x2上點A處的切線與直線3x-y+1=0的夾角45°，則點A的坐標為
A.(-1，1) B.(
) C.(1,1) D.(-1，1)或(
)
10.若tanx1?tanx2=1,則sinx1?sinx2最大值為
A.
B.
C.1 D.無最大值
11.已知函數f(x)在R上為偶函數，f(x+1)+f(x)=1,x∈[1,2]時，f(x)=2-x,則f(-2006)的值為
A.1.5 B.0 C.1 D.0.5
12.水平桌面上放置這一個容積為V的密閉長方體玻璃容器ABCD-A1B1C1D1，其中裝有V的水.
①把容器一端慢慢提起，使容器的一條棱AD保持在桌面上，這個過程中，水的形狀始終是柱體；
②在①中的運動過程中，水面始終是矩形；
③把容器提離桌面，隨意轉動，水面始終過長方體內一個定點；
④在③中水與容器的接觸面積始終不變.
以上說法中正確的個數是為
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)
13.已知函數f(x)對于任意x1、x2∈R+,恒有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),若f(
)=，則f(8)=______.
5
14.已知a、b、c∈R，且三次方程x3+ax2+bx+c=0有三個實根x1、x2、x3仿照二次方程根與系數的關系，寫出三次方程根與系數的關系，則x1+x2+x3、x1?x2+x2?x3+x3?x1、x1?x2?x3的值依次分別為_____.
15.將1、2、3……8、9這9個數字填在如圖所示的3×3的
表格中，每格填一個數，要求每一行從左到右，每一列從上到
下都依次增大，5已定在中間位置，則不同的填法種數為________。
16.關于函數f(x)= 
(a為常數且a>0)，下列表述正確的為________.
(將你認為正確的都填上)
(1)它的最小值為0；
(2)它在每一點處都連續；
(3)它在R上為增函數.
三、解答題(本大題共6小題，共74分，17-21題每題12分，22題14分，解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.已知△ABC的面積S滿足
≤S≤3，且
的夾角為x.
(1)求x的取值范圍
(2)已知
=(cos4x，-sinx),
=(1,sin3x+2cosx),f(x)= ?，求f(x)的值域.
18.某人上樓梯，每步上一階的概率為
，每步上二階的概率為
，設該人從臺階下的平臺開始出發，到達第n階的概率為Pn.
(1)求P1，P2；
(2)該人共走了5步，求該人這5步共上的階數ξ的數學期望.
19.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2，且∠A1AD=∠A1AB=60°,AC與BC交于點O.
(1)求證：A1O⊥平面ABCD；
(2)求BC1與底面ABCD所成的角；
(3)求側棱AA1和截面B1D1DB的距離.
20.設實數x、y同時滿足條件4x2-9y2=36,且x>0,y<0.
(1)求y=f(x)的解析式和定義域；
(2)設y=f(x)的反函數y=f-1(x)圖象上任意一點的切線的斜率為k，試求k的取值范圍.
21.已知
(n，n)(n∈R，n為變量)，
的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：①
，λ≠0,t∈R)；③動點P的軌跡Q經過點B(0，-1)
(1)求c的值；
(2)求曲線Q的方程；
(3)方向向量為=(1,k)(k≠0)的直線l與曲線Q交于兩個不同的點M、N，
，求k的取值范圍.
22.對于數列{an}，定義其倒均數Vn=
(1)若數列{an} 中，Vn=
求{an}的通項公式；
(2)已知{bn}為等比數列，且其公比為，其倒均數為Vn,是否存在正整數m,使得當n≥m(n∈N*)時，Vn<
恒成立，如果存在，求m的最小值；如不存在，說明理由.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
C
A
C
D
B
B
D
二、填空題
13.3 14.-a、b、-c 15.18 16.(1)(2)
三、解答題
17.解：(1)∵
夾角為x,∴
cosx=6
S=
sin∠ABC=sin(π-x)=sinx …………2分
∴
…………4分
x∈[0,π],∴x∈[
] …………6分
(2)f(x)=
=cos4x×1+(-sinx)(sin3x+2
sin2x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+
) …………9分
∵
∴f(x)∈[-
] …………12分
18.解：(1)從平臺達到第一階每步只能上一階，因此概率P1=
…………2分
從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，
故概率為P2=×+
…………5分
(2)該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10
ξ的分布列為：(6分)
ξ
5
6
7
8
9
10
P
()5
Eξ=5×()5+6×
…………12分
19.(1)證：連結A1D、A1B
由已知可得△AA1B和△A1AD為全等的正三角形.
∴A1B=A1D∴A1O⊥BD
又AB=AD，BD=BD
∴△ABD≌△A1BD∴A1O=AO=
又AA1=2∴A1O⊥AO
∴A1O⊥平面ABCD …………4分
(2)過C1作C1H⊥AC交AC的延長線于H，則C1H⊥平面ABCD
連結BH，則∠C1BH為BC1與平面ABCD所成的角.
∵OH=A1C1=2，BO=，∴BH=
∴tan∠C1BH=
∠C1BH=arctan
…………8分
((2)也可用向量法求解)
(3)連結OO1，易知AA1∥OO1，面AA1O1O⊥面BDD1B1
作A1G⊥OO1，則A1G為AA1與面B1D1DB的距離.
由(1)知A1O=AO=A1O1，A1O⊥A1O1
∴A1G=
=1 …………12分
((3)也可用向量法或等積法求解)
20.(1)y2=
,∵y2>0,x>0,∴x>3又y<0
∴y=-
…………4分
(2)x=
∴y=f-1(x)= 
(x<0) …………7分
設(x0，y0)為y=f-1(x)圖象上任一點.
=
故-
…………12分
21.(1)
，當n=
時，
∴c= …………3分
(2)∵
直線x=
∴P點在以F為焦點，x=
為準線的橢圓上 …………5分
設P(x,y)則
點B(0，-1)代入，解得a=
∴曲線方程為
…………7分
(3)設l:y=kx+m(k≠0)與聯立，消去y得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
△>0得：m2<3k2+1 …………9分
設M(x1，y1),N(x2，y2),MN中點A(x0,y0),由
，
由韋達定理代入KBA=-
，可得到m=
∴k2-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1 …………11分
即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l與曲線Q交于兩個不同的點M、N
使
…………12分
22.(1)由于數列{an}的倒均數，Vn=
得：
…………2分
當n≥2時，
所以
，又當n=1時，a1=也適合上式.
∴an=
…………6分
(2)由于{bn}是公比為q=
的等比數列，∴{
}為公比為2的等比數列，其倒均數
Vn=
，不等式Vn<
…………8分
若b1<0,則2n-1>8n，令f(x)=2x-8x-1，則f(x)=2xln2-8,當x≤3時，f(x)<0,當x>4時，f(x)>0,∴f(x)當x≥4時是增函數又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故當n≥6時，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整數m，使得當n≥m,n∈N*時，Vn<
恒成立，且m的最小值為6……12分
若b1>0,則上式即為2n-1<8n,顯然當n≤5時成立，而n>5時不成立，故不存在正整數m,使n≥m(n∈N*)時，Vn=成立 …………14分
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