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(3)方向向量為=(1,k)(k≠0)的直線l與曲線Q交于兩個不同的點M.N..求k的取值范圍. 【查看更多】

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A（2，0），一條漸近線為y=

1

2

x，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

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已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A（2，0），一條漸近線為y=

1

2

x，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

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已知曲線C上任意一點到直線x=

3

2

的距離與它到點(

2

，0)的距離之比是

6

2

．
（I）求曲線C的方程；
（II）設B為曲線C與y軸負半軸的交點，問：是否存在方向向量為

m

=(1，k)(k≠0)的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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在平面直角坐標系中，已知向量

OF

=(c，0)(c為常數，且c＞0)，

OG

=(x，x)(x∈R)，|

FG

|的最小值為1，

OE

=(

a2

C

，t）（a為常數，且a＞c，t∈R）．動點P同時滿足下列三個條件：
（1）|

PF

|=

c

a

|

PE

|；(2)

PE

=λ•

OF

(λ∈R，且λ≠0)；
（2）動點P的軌跡C經過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為m=（1，k）（k≠0）的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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已知雙曲線C：

，設過點A（-3

，0）的直線l的方向向量

=（1，k），
（1）當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l與m的距離；
（2）證明：當k＞

時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為

。

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

D

C

A

C

D

B

D

二、填空題

13.3 14.-a、b、-c 15.18 16.(1)(2)

三、解答題

17.解：(1)∵夾角為x,∴cosx=6

S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx …………2分

∴ …………4分

x∈[0,π],∴x∈[] …………6分

(2)f(x)==cos⁴x×1+(-sinx)(sin³x+2sin2x)=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx

=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin²x=cos²x-sin²x=2cos(2x+) …………9分

∵

∴f(x)∈[-] …………12分

18.解：(1)從平臺達到第一階每步只能上一階，因此概率P₁= …………2分

從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，

故概率為P₂=×+ …………5分

(2)該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10

ξ的分布列為：(6分)

ξ

5

6

7

8

9

10

P

()⁵

E_ξ=5×()5+6× …………12分

19.(1)證：連結A₁D、A₁B

由已知可得△AA₁B和△A₁AD為全等的正三角形.

∴A₁B=A₁D∴A₁O⊥BD

又AB=AD，BD=BD

∴△ABD≌△A₁BD∴A₁O=AO=

又AA₁=2∴A₁O⊥AO

∴A₁O⊥平面ABCD …………4分

(2)過C₁作C₁H⊥AC交AC的延長線于H，則C₁H⊥平面ABCD

連結BH，則∠C₁BH為BC₁與平面ABCD所成的角.

∵OH=A₁C₁=2，BO=，∴BH=

∴tan∠C₁BH=∠C₁BH=arctan …………8分

((2)也可用向量法求解)

(3)連結OO₁，易知AA₁∥OO₁，面AA₁O₁O⊥面BDD₁B₁

作A₁G⊥OO₁，則A₁G為AA₁與面B₁D₁DB的距離.

由(1)知A₁O=AO=A₁O₁，A₁O⊥A₁O₁

∴A₁G==1 …………12分

((3)也可用向量法或等積法求解)

20.(1)y²=,∵y²>0,x>0,∴x>3又y<0

∴y=- …………4分

(2)x=∴y=f^-1(x)= (x<0) …………7分

設(x₀，y₀)為y=f^-1(x)圖象上任一點.

=

故- …………12分

21.(1)，當n=時，

∴c= …………3分

(2)∵直線x=∴P點在以F為焦點，x=為準線的橢圓上 …………5分

設P(x,y)則點B(0，-1)代入，解得a=

∴曲線方程為 …………7分

(3)設l:y=kx+m(k≠0)與聯立，消去y得：(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0,

△>0得：m²<3k²+1 …………9分

設M(x₁，y₁),N(x₂，y₂),MN中點A(x₀,y₀),由，

由韋達定理代入K_BA=-，可得到m=

∴k²-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1 …………11分

即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l與曲線Q交于兩個不同的點M、N

使 …………12分

22.(1)由于數列{a_n}的倒均數，V_n=

得： …………2分

當n≥2時，所以，又當n=1時，a₁=也適合上式.

∴a_n= …………6分

(2)由于{b_n}是公比為q=的等比數列，∴{}為公比為2的等比數列，其倒均數

V_n=，不等式V_n< …………8分

若b₁<0,則2ⁿ-1>8n，令f(x)=2^x-8x-1，則f(x)=2^xln2-8,當x≤3時，f(x)<0,當x>4時，f(x)>0,∴f(x)當x≥4時是增函數又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故當n≥6時，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整數m，使得當n≥m,n∈N*時，V_n<恒成立，且m的最小值為6……12分

若b₁>0,則上式即為2ⁿ-1<8n,顯然當n≤5時成立，而n>5時不成立，故不存在正整數m,使n≥m(n∈N*)時，V_n=成立 …………14分

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