北京市朝陽區2005-2006學年綜合練習（三）
高三數學綜合練習(理科)
(考試時間120分鐘, 滿分150分)
題號
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數
第Ⅰ卷 (選擇題共40分)
參考公式：
如果事件A、B互斥,那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨立,那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的 球的體積公式
概率是P,那么n次獨立重復試驗
V = 
πR3
中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
.
得分
評卷人
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題的
4個選項中,只有一項是符合題目要求的.
(1) 若復數z滿足z(1-2i)=3+4i，則z等于
（A）-1+2i （B）2+4i
（C）2+i （D）-1+4i
(2) 已知直線
及平面
，下列命題中的假命題是
（A）若
，
，則
（B）若
，
，則
（C）若
，，則 （D）若
，，則
(3) 給定性質：①最小正周期為
，②圖象關于直線
對稱，則下列函數中同時具有性質①、②的是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(4) 設函數f(x)在定義域內可導，y= f(x)的圖象如右圖所示，
則導函數y= f′(x)的圖象可能為
(5) 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
（A）140種 （B）120種 （C）35種 （D）34種
(6) 以橢圓
的右焦點為圓心，且與雙曲線
的漸近線相切的圓的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
(7) 已知O、A、M、B為平面上四點，且
，
，則
(A) 點M在線段AB上 (B) 點B在線段AM上
(C) 點A在線段BM上 (D) O、A、M、B四點一定共線
(8) 已知函數y=f (x)（0≤x≤1）的圖象是如圖所示的一段圓弧，
若
，則
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
與
的大小關系不確定
第II卷（非選擇題 共110分）
得分
評卷人
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.將答案填在題中
(10)點M (1，2) 到圓A：
的圓心距離是
，過點M的直線
將圓A分成兩段弧，其中劣弧最短時，
的方程為
.
(11)已知二項式
展開式的第4項與第5項之和為零，那么x等于 ．
(12)設地球的半徑為R，P和Q是地球上兩地，P在北緯45o，東經20o，Q在北緯45o，
東經110o，則P、Q 兩地的直線距離是 ，兩地的球面距離是 ．
(13)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x<0時，f(x)=2x，則
的值為 .
(14)在等比數列
中，若
，則有等式
，
成立. 類比上述性質，相應的在等差數列
中，若
，則有等式
成立.
得分
評卷人
(15)（本小題滿分13分）
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
在
中 ，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，
，
.
（Ⅰ）求cosC，
的值；
（Ⅱ）若
，求邊AC的長.
得分
評卷人
(16)（本小題滿分13分）
{an}是公差為1的等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，Pn，Qn分別是{an}，{bn}的前n項和，且a6=b3, P10=Q4+45.
（I）求{an}的通項公式；
（II）若Pn> b6，求n的取值范圍.
得分
評卷人
(17)（本小題滿分13分）
甲、乙兩人參加一項智力測試.已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題. 規定每位參賽者都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題才算通過.
（I）求甲答對試題數
的概率分布及數學期望；
（II）求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率.
得分
評卷人
(18)（本小題滿分13分）
已知：在正三棱柱ABC―A1B
（Ⅰ）求異面直線AD與A
（Ⅱ）求證：ED⊥平面ACC
（Ⅲ）求平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小.
得分
評卷人
(19)（本小題滿分14分）
設函數
.
（Ⅰ）求
的導函數
，并證明有兩個不同的極值點x1、x2；
（Ⅱ）若對于（Ⅰ）中的x1、x2，不等式
成立，求a的取值范圍.
得分
評卷人
(20)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，已知向量
，
|
(a為常數，且a>c，t∈R). 動點P同時滿足下列三個條件：（1）
； 
； (3) 動點P的軌跡C經過點B(0，-1).
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為m = (1，k) (k ≠ 0) 的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，
使|
60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）A （2）D （3） B （4） D
（5）D （6）A （7） B （8） C
二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） (1，-1) （10）
，
（11） 2 （12）R ，
R
（13）
2
（14） 
三.解答題（本大題共6小題，共80分）
15. 解：（Ⅰ）
. ………………………………3分
又
，cosC=
>0，
故在
中，
、
是銳角. ∴
，
.
∴
. ……………………7分
（Ⅱ） 
.
……………………10分
由正弦定理 
. 解得
，c=6.
∴
. ∴
，即AC=5 . ……………………13分
16. 解：（I）依條件得
， ……………………2分
解得
.
…………………………………………4分
所以an=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分
（II）Pn=
， b6=2×26-1=64，
由
>64得n2+5n-128>0.
………………………………9分
所以n(n+5)>128.
因為n是正整數，且n=9時，n(n+5)=126，且n(n+5)是遞增的，
所以當n≥10時，n(n+5)>128.
即n≥10時，Pn> b6. …………………………………………………13分
17. 解：（I）甲答對試題數
的可能取值為
0、1、2、3.
∵
，
，
，
，
…………………………4分
∴ 甲答對試題數的概率分布如下：
0
1
2
3
P
故甲答對試題數的數學期望為
.
…………………………7分
（II）設甲、乙兩人通過測試的事件分別為A、B，則
，
.
…………………………………………9分
、B相互獨立，
∵甲、乙兩人都未通過測試的概率為
. ……………………………11分
∴甲、乙兩人至少有一個通過測試的概率為
.
………………………………………13分
18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A
∴∠CAD是異面直線AD與A
連結CD，易知AD=CD=
a，AC= a，
在△ACD中易求出cos∠CAD=
.
因此異面直線AD與A. …………………………4分
（Ⅱ）證明：
∵D是B1B的中點，
∴△C1B1D≌△ABD.
∴AD= C1D.
于是△ADC1是等腰三角形.
∵E是AC1的中點，
∴DE⊥AC1. ……………………6分
設AC的中點為G，
∴EG∥C
C
∴四邊形EGBD是平行四邊形.
∴ED∥GB.
∵G是AC的中點，且AB=BC，
∴GB⊥AC.
∴ED⊥AC.
∵AC∩AC1=A，
∴ED⊥平面ACC
（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC
（Ⅲ）解：∵C1D，CB共面，
故C1D，CB必相交，設交點為F，連結AF.
∴平面ADC1與平面ABC所成二面角是C-AF-C1. ………………………………10分
∵DB=C
∴B是CF的中點.
∴AC=CB=BF= a.
在△ACF中，由余弦定理可求出AF=
a.
∴易判斷出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.
∵C
∴AC1⊥AF.
∴∠C
∵tan∠C
=2，
∴平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos
）. …………13分
19. 解：（Ⅰ）∵
，
∴
.
……………………………………3分
令
得，
=0
.
，
∴
方程有兩個不同的實根
、
.
令
，由
可知：
當
時，
；
當
；
當
；
∴是極大值點，是極小值點. ……………………………………7分
（Ⅱ）
，
所以得不等式
.
即
. ………10分
又由（Ⅰ）知
，
代入前面的不等式，兩邊除以（1+a），
并化簡得
，解之得：
，或
（舍去）.
所以當時，不等式
成立. …………………………14分
20. 解：(Ⅰ)∵|
∴
.
…………………………………………………2分
由
， 
.
由（1）、（2）可知點P到直線x=
，
再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡C是橢圓. …………………………4分
設橢圓C的方程為：
，
由（3）可知b =1，∴a2=b2+c2=1+2=3.
∴橢圓C的方程為: 
.
…………………………………5分
（Ⅱ）假設存在符合條件的直線l，并設l的方程為:y=kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，
.
則x1+x2= -
. ………………7分
Δ=36 k
設線段MN的中點G(x0，y0)，
x0=
，
線段MN的垂直平分線的方程為：y -
.
∵|
， ∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點.
∴-1-
. ∴m=
. ② ………9分
②代入①，得3k2 -(
. ③
∵|
的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形.
∴點B到直線MN的距離d=
.
…………………………10分
∵
,
又∵|MN|=
=
=
,
∴
. …………………………13分
解得k2=
，滿足③式. 代入②，得m=
.
直線l的方程為：y=
. ……………………………………………14分
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