北京市朝陽區2005-2006學年綜合練習（三）
高三數學綜合練習(文科)
(考試時間120分鐘, 滿分150分)
題號
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數
第Ⅰ卷 (選擇題共40分)
參考公式：
如果事件A、B互斥,那么 球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨立,那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的 球的體積公式
概率是P,那么n次獨立重復試驗
V = 
πR3
中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
.
得分
評卷人
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題的
4個選項中,只有一項是符合題目要求的.
(1) 設集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，則M∩(CUN)
（A）{5} （B） {0，3}
（C）{0，2，3，5} （D） {0，1，3，4，5}
(2) 已知直線
及平面
，下列命題中的假命題是
（A）若
，
，則
. （B）若
，
，則
.
（C）若
，，則. （D）若
，，則.
(3) .已知向量a＝(－1，
)，向量b＝(，－1)，則a與b的夾角等于
(A)
(B)
(C)
π (D)
π
(4) 給定性質：①最小正周期為
，②圖象關于直線
對稱，則下列函數中同時具有性質①、②的是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(5) 函數
的圖象如右圖所示，則的導函數
的圖象可以是
(6) 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
（A）140種 （B）120種 （C）35種 （D）34種
(7) 以橢圓
的右焦點為圓心，且與雙曲線
的漸近線相切的圓的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
(8) 已知函數y=f (x)（0≤x≤1）的圖象是如圖所示的一段圓弧，若
，則
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
與
的大小關系不確定
第II卷（非選擇題 共110分）
得分
評卷人
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.將答案填在題中
(11)點M (1，2) 到圓A：
的圓心距離是
，過點M的直線
將圓A分成兩段弧，其中劣弧最短時，
的方程為
.
(12) 已知數列
的前
項和
滿足
，則其通項
= .
(13)已知二項式
展開式的首項與末項之和為零，那么x等于
．
(14)設地球的半徑為R，P和Q是地球上兩地，P在北緯45o，東經20o，Q在北緯
45o，東經110o，則P、Q 兩地的直線距離是 ，兩地的球面距離為 ．
得分
評卷人
(15)（本小題滿分13分）
某班數學興趣小組有男生和女生各3名，現從中任選2名學生去參加數學競賽.
求：
（Ⅰ）恰有一名參賽學生是男生的概率；
（Ⅱ）至少有一名參賽學生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名參賽學生是男生的概率.
得分
評卷人
(16)（本小題滿分13分）
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
在
中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，
，
.
（Ⅰ）求cosC，
的值；
（Ⅱ）若
，求邊AC的長.
得分
評卷人
(17)（本小題滿分13分）
{an}是公差為1的等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，Pn，Qn分別是{an}，{bn}的前n項和，且a6=b3, P10=Q4+45.
（I）求{an}的通項公式；
（II）若Pn> b6，求n的取值范圍.
得分
評卷人
(18)（本小題滿分13分）
已知：在正三棱柱ABC―A1B
（Ⅰ）求異面直線AD與A
（Ⅱ）求二面角D-AC-B的大小；
（Ⅲ）求證：ED⊥平面ACC
得分
評卷人
(19)（本小題滿分14分）
設函數
.
（Ⅰ）求
的導函數
，并證明有兩個不同的極值點x1、x2；
（Ⅱ）若對于（Ⅰ）中的x1、x2，不等式
成立，求a的取值范圍.
得分
評卷人
(20)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，右焦點為F (c，0)的橢圓C：
+
=1 (a>b>0) 經過點
B(0，-1)，向量
= (λ-c，λ) (λ∈R)，且||的最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若以m = (1，k) (k≠0) 為方向向量的直線l與曲線C相交于M、N兩點，使
|
|=|
|，且與的夾角為60°，試求出k值及直線l的方程.
一.選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）D （3）C （4）B
（5）D （6）D （7）A （8）C
二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9）(1，-1) （10）｛y|
y>1｝， y = 2x-1 （x>1） （11）
，
（12）
（13） 2 （14）R， 
R
三.解答題（本大題共6小題，共80分）
15. 解（Ⅰ）恰有一名男生的概率為
. ……………………………3分
（Ⅱ）至少有一名男生的概率為
. …………………………8分
（Ⅲ）至多有一名男生的概率為. …………………………13分
16. 解：（Ⅰ）
. ……………………………3分
又
，cosC=
>0，
故在
中，
、
是銳角. ∴
，
.
∴
. ……………………7分
（Ⅱ） 
.
……………………10分
由正弦定理 
. 解得
，c=6.
∴
. ∴
，即AC=5 . ……………………13分
17. 解：（I）依條件得
， …………………2分
解得
.
…………………………………………4分
所以an=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分
（II）Pn=
， b6=2×26-1=64，
由
>64得n2+5n-128>0.
………………………………9分
所以n(n+5)>128.因為n是正整數，且n=9時，n(n+5)=126，
所以當n≥10時，n(n+5)>128. 即n≥10時，Pn> b6. ……………………………13分
18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A
∴∠CAD是異面直線AD與A
連結CD，易知AD=CD=
a，AC= a， 在△ACD中易求出cos∠CAD=
.
因此異面直線AD與A. …………………………4分
（Ⅱ）解：設AC中點為G，連結GB，GD，
∵△ABC是等邊三角形， ∴GB⊥AC.
又DB⊥面ABC， ∴GD⊥AC.
∴∠DGB是所求二面角的平面角. …………………6分
依條件可求出GB=
a.
∴tan∠DGB=
=
.
∴∠DGB=arctan.
……………………………………………8分
（Ⅲ）證明：
∵D是B1B的中點，∴△C1B1D≌△ABD. ∴AD= C1D. 于是△ADC1是等腰三角形.
∵E是AC1的中點， ∴DE⊥AC1. ………………………………………………10分
∵G是AC的中點，∴EG∥C
C
∴四邊形EGBD是平行四邊形. ∴ED∥GB.
∵G是AC的中點，且AB=BC，∴GB⊥AC. ∴ED⊥AC.
∵AC∩AC1=A，
∴ED⊥平面ACC
（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC
19. 解：（Ⅰ）∵
，
∴
.
……………………………………3分
令
得，
=0
.
，
∴
方程有兩個不同的實根
、
.
令
，由
可知：
當
時，
；
當
；
當
；
∴是極大值點，是極小值點. ……………………………………7分
（Ⅱ）
，
所以得不等式
.
即
. ………10分
又由（Ⅰ）知
，
代入前面的不等式，兩邊除以（1+a），
并化簡得
，解之得：
，或
（舍去）.
所以當時，不等式
成立.
…………………………14分
20. 解：(Ⅰ)∵
∴
.
………………………………………………2分
又橢圓C經過點B(0，-1)，解得b2=1.
所以a2=2+1=3. 故橢圓C的方程為
. ……………………………4分
（Ⅱ）設l的方程為:y= kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，
.
則x1+x2= -
. ………………6分
Δ=36 k
設線段MN的中點G(x0，y0)，
x0=
，
線段MN的垂直平分線的方程為：y -
.…………………8分
∵|
， ∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點.
∴-1-
. ∴m=
. ②
②代入①，得3k2 -(
. ③
∵|
的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形.
∴點B到直線MN的距離d=
.
……………………………10分
∵
,
又∵|MN|=
=
=
,
∴
.
……………………………12分
解得k2=
，滿足③式. 代入②，得m=
.
直線l的方程為：y=
.
……………………………14分
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