中的x1.x2.不等式成立.求a的取值范圍. 得分評(píng)卷人【查看更多】

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先閱讀材料：對(duì)于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x₀=

x1+x2

2

時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請(qǐng)問(wèn)在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3 ）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）處切線的斜率？請(qǐng)寫出判斷過(guò)程．

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已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3 ）函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）處切線的斜率？請(qǐng)寫出判斷過(guò)程．

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若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q為常數(shù)）對(duì)任意n∈N^*都成立，則我們把數(shù)列{a_n}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問(wèn)等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}（公比為r）是否為L(zhǎng)型數(shù)列？若是，寫出對(duì)應(yīng)p、q的值；若不是，說(shuō)明理由．
（2）已知L型數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的兩根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求證：數(shù)列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比數(shù)列（只選其中之一加以證明即可）．
（3）請(qǐng)你提出一個(gè)關(guān)于L型數(shù)列的問(wèn)題，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提問(wèn)題的普適性給予不同的分值，最高10分）

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已知函數(shù)f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x₁<x₂<1, 關(guān)于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實(shí)數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x₀，使得.如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：