浙江省臺州市2009屆高三第二次調考試卷（數學理） 2009.4
命題：陳傳熙(玉環縣玉城中學) 許彪(臺州中學)
審卷：李繼選(臺州一中)
注意：本卷考試時間120分鐘，請考生將所有題目都做在答題卷上．
參考公式：
如果事件
，
互斥，那么
棱柱的體積公式
如果事件，相互獨立，那么
其中
表示棱柱的底面積，
表示棱柱的高
棱錐的體積公式
在
次獨立重復試驗中事件恰好
發生
次的概率是
，
其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高
其中
表示在一次試驗中事件發生的概率 棱臺的體積公式
球的表面積公式 
球的體積公式 
其中
分別表示棱臺的上底、下底面積，
其中
表示球的半徑
表示棱臺的高
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若集合
，
，則集合
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在
的展開式中，常數項為
（A）－28 （B）－70 （C）70 （D）28
3．已知兩條不同的直線
，
與三個不同的平面
，
，
，滿足
， 
，
，
，那么必有
（A）
，
（B），
（C）， （D）
，
4．在等比數列
中，
，
，
，則
（A）16 （B）27 （C）36 （D）81
5．已知
均為實數，則“
”是“關于
一元二次不等式
的解集為”的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
6．在一張矩形紙片上，畫有一個圓（圓心為O）和一個定點F（F在圓外）．在圓上任取一點M，將紙片折疊使M與點F重合，得到折痕CD．設直線CD與直線OM交于點P，則點P的軌跡為
（A）雙曲線 （B）橢圓 （C）圓 （D）拋物線
7．若對
，
，使
≤
成立，則
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖都是面積為，且一個內角為
的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為
（A）
（B）
（C）4
（D）8
9．將三個分別標有A，B，C的小球隨機地放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，則第1號盒子內有球的不同放法的總數為
（A）27 （B）37 （C）64 （D）81
10．已知向量
，
，
滿足
，
，
?
．若對每一確定的,
的最大值和最小值分別為, 
, 則對任意,
的最小值是
（A）
（B） （C）
（D）1
二．填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11．已知復數
，則
▲ ．
12．某路段屬于限速路段，規定通過該路段的汽車時速不得超過
，否則視為違規扣分．某天，有1000輛汽車經過了該路段，經過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖所示，則違規扣分的汽車大約為 ▲
輛．
13．已知等差數列的前項和為
，且過點
和
的直線的斜率是4，若
，則
▲ ．
14．某個缺水地區為了提倡居民節約用水和控制用水浪費現象，實行了水費的分段計價，其計價的流程如圖所示．其中輸入為居民每月的用水量（單位：噸），輸出為相應的水費（單位：元）．已知某戶居民某月用水量為
噸，則該戶居民用水超過20噸的部分應繳納的水費為 ▲ ．
15．已知向量
，
，其中
為連續兩次投擲骰子得到的點數，則
的夾角能成為直角三角形的內角的概率是 ▲
．
16．若
是定義在R上的奇函數，且當
時，
；當
時，
．則函數
的零點有 ▲ 個．
17．已知點
，如果直線
經過點，那么實數的取值范圍是 ▲
．
三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（本小題滿分14分）
已知函數
．
（Ⅰ）求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知
，且
，求的值．
19．（本小題滿分14分）
一袋子中有大小、質量均相同的10個小球，其中標記“開”字的小球有5個，標記“心”字的小球有3個，標記“樂”字的小球有2個．從中任意摸出1個球確定標記后放回袋中，再從中任取1個球．不斷重復以上操作，最多取3次，并規定若取出“樂”字球，則停止摸球．求：
（Ⅰ）恰好摸到2個“心”字球的概率；
（Ⅱ）摸球次數
的概率分布列和數學期望．
20．（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱
中，
，頂點
在
底面
上的射影恰為B點，且
．
（Ⅰ）分別求出
與底面，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱
上確定一點P，使
，并求出
二面角
的平面角的余弦值．
21．（本小題滿分15分）
已知橢圓
的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓
交于
兩點，且
（
為坐標原點），
于
點．試求點的軌跡方程．
22．（本小題滿分15分）
已知函數
，
，其中無理數
．
（Ⅰ）若
，求證：
；
（Ⅱ）若在其定義域內是單調函數，求
的取值范圍；
（Ⅲ）對于區間（1，2）中的任意常數，是否存在
使
成立？若
存在，求出符合條件的一個
；否則，說明理由．
數 學（理科） 2009.4
一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
C
B
B
二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．
11． －1 12． 110 13． 78 14．
15．
16．
7 17．
三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（Ⅰ）解：
．……………………… 4分
由
，解得 
．
所以函數
的單調遞增區間為 
．…………… 7分
（Ⅱ）解：由
，得
．故
．……………… 10分
于是有 
，或
，
即
或
．因
，故
．……………… 14分
19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：
開心心，心開心，心心開，心心樂．
則恰好摸到2個“心”字球的概率是
．………………………………………6分
（Ⅱ）解：
，
則 
，
，
．…………………………………………10分
故取球次數
的分布列為
1
2
3
．…………………………………………………14分
20．（Ⅰ）解：因
在底面
上的射影恰為B點，則
⊥底面．
所以
就是
與底面所成的角．
因
，故 
，
即與底面所成的角是
．……………………………………………3分
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則
，
，
．
則
，
故與棱BC所成的角是
．…………………………………………………7分
（Ⅱ）解：設
，則
．于是
（
舍去），
則P為棱
的中點，其坐標為
．…………………………………………9分
設平面
的法向量為
，則
，故
．…………………11分
而平面
的法向量是
，
則
，
故二面角的平面角的余弦值是
．………………………………14分
21．（Ⅰ）解：由題意知：
，
，
，解得
．
故橢圓的方程為
．…………………………………………………5分
（Ⅱ）解：設
，
⑴若
軸，可設
，因
，則
．
由
，得
，即
．
若
軸，可設
，同理可得
．……………………7分
⑵當直線
的斜率存在且不為0時，設
，
由
，消去
得：
．
則
．………………………………………9分
．
由，知
．
故 
，即
（記為①）．…………11分
由
，可知直線
的方程為
．
聯立方程組
，得 
（記為②）．……………………13分
將②代入①，化簡得
．
綜合⑴、⑵，可知點
的軌跡方程為.………………………15分
22．（Ⅰ）證明：當
時，
．令
，則
．
若
，
遞增；若
，遞減，
則
是的極（最）大值點．于是
，即
．故當時，有
．………5分
（Ⅱ）解：對
求導，得
．
①若，
，則在
上單調遞減，故合題意．
②若
，
．
則必須
，故當
時，在上單調遞增．
③若
，
的對稱軸
，則必須
，
故當時，在上單調遞減．
綜合上述，
的取值范圍是
．………………………………10分
（Ⅲ）解：令
．則問題等價于
找一個
使
成立，故只需滿足函數的最小值
即可．
因
，
而
，
故當
時，
，
遞減；當
時，
，遞增．
于是，
．
與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的
．……………………15分
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