題目列表(包括答案和解析)
數 學（理科） 2009.4
一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
C
B
B
二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．
11． －1 12． 110 13． 78 14．
15．
16．
7 17．
三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（Ⅰ）解：
．……………………… 4分
由
，解得 
．
所以函數
的單調遞增區間為 
．…………… 7分
（Ⅱ）解：由
，得
．故
．……………… 10分
于是有 
，或
，
即
或
．因
，故
．……………… 14分
19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：
開心心，心開心，心心開，心心樂．
則恰好摸到2個“心”字球的概率是
．………………………………………6分
（Ⅱ）解：
，
則 
，
，
．…………………………………………10分
故取球次數
的分布列為
1
2
3
．…………………………………………………14分
20．（Ⅰ）解：因
在底面
上的射影恰為B點，則
⊥底面．
所以
就是
與底面所成的角．
因
，故 
，
即與底面所成的角是
．……………………………………………3分
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則
，
，
．
則
，
故與棱BC所成的角是
．…………………………………………………7分
（Ⅱ）解：設
，則
．于是
（
舍去），
則P為棱
的中點，其坐標為
．…………………………………………9分
設平面
的法向量為
，則
，故
．…………………11分
而平面
的法向量是
，
則
，
故二面角的平面角的余弦值是
．………………………………14分
21．（Ⅰ）解：由題意知：
，
，
，解得
．
故橢圓的方程為
．…………………………………………………5分
（Ⅱ）解：設
，
⑴若
軸，可設
，因
，則
．
由
，得
，即
．
若
軸，可設
，同理可得
．……………………7分
⑵當直線
的斜率存在且不為0時，設
，
由
，消去
得：
．
則
．………………………………………9分
．
由，知
．
故 
，即
（記為①）．…………11分
由
，可知直線
的方程為
．
聯立方程組
，得 
（記為②）．……………………13分
將②代入①，化簡得
．
綜合⑴、⑵，可知點
的軌跡方程為.………………………15分
22．（Ⅰ）證明：當
時，
．令
，則
．
若
，
遞增；若
，遞減，
則
是的極（最）大值點．于是
，即
．故當時，有
．………5分
（Ⅱ）解：對
求導，得
．
①若，
，則在
上單調遞減，故合題意．
②若
，
．
則必須
，故當
時，在上單調遞增．
③若
，
的對稱軸
，則必須
，
故當時，在上單調遞減．
綜合上述，
的取值范圍是
．………………………………10分
（Ⅲ）解：令
．則問題等價于
找一個
使
成立，故只需滿足函數的最小值
即可．
因
，
而
，
故當
時，
，
遞減；當
時，
，遞增．
于是，
．
與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的
．……………………15分
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